CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. l

C'est ainsi que

Divisons /(x) (§ i) par une fonction linéaire quelconque x — a ; on trouve

formule dans laquelle les coefficients /(a), . . . , /„, (a) sont définis par les égalités suivantes [§ 4, (8)] :

/i(a) = a» -H ara -ha,,

(3) <' y3(a) = a»H-a,a*-h ajŒ -+- aa,

fn-\{oL) = a"-» -i- ai a«-* -H. . .-♦-«„,.

Remplaçons dans (2) a successivement par chacune des quantités a<, a2, . . . , a^ ; remarquons que y(a^. )r=o, et faisons la somme S. Le premier membre devient [§ 14, (i 1)]

tandis que le second membre devient

(5) nx«-iH- a:«-2S[/i(a)]-+-J^«-3S[/,(a)] -+-... -h S[/«,(a)].

En égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans (4) et (5), il vient

Sr/i(a)] =(/i — i)a,,

D'autre part, en tenant compte des égalités (1) et (3), on trouve

S[/i(a)] =.9i -4-/ia, , S[/s(«)] =*î 4-ai5i-4-/ia2,

S[/«-i(3t)] = S/»~i -f-a,5rt-j-4-...-f- nan-\',

l66 . LIVRE I. — LES PRINCIPES.

à l'aide de ces équations, on déduit de (6) les formules de Newton ( « )

O = 52 -h a] Sj -H 2af ,

(7) ^0 = ^8 -+- aj^i -f- aj^i + 3a3,

Ce sj'slème de formules peut encore être étehdu, en remarquant que

S[/(a)] = o, S[a/(a)l = o, Sfa2Aa)] = o,

ce qui donne

o = Sfi -H «1 5/1-1 H- a-i Sfi-t H- . . . -f- n «rt ,

o = 5rt+2 -+- ai5rt-Hi -4- «î^/i -H. . .-T- a,i5i,

Les formules (7) el (8) résolvent le problème, puisqu'elles permettent de calculer successivement les fonctions 5| , ^2; ^3> • • m en fonction rationnelle des fonctions symétriques fondamentales: on trouve ainsi :

Si = — ai 5j = -f- a

la formation même de ces expressions prouve que les coefficients sonl des nombres entiers.

Inversement, il est possible, à l'aide des formules (7) et (8), d'exprimer rationnellement les fonctions symétriques fondamentales ai, ^2, . . ., a/t à l'aide des sommes Sk- La représentation n'est plus aussi simple, parce que les coefficients ne sont plus des nombres entiers, mais des nombres fractionnaires. On a, pat

(') Newton, Arithmetica unwersalis, édil. S'Gravesande, p. Sga.