ji/Z. = if

6as = — s] -h 35i5j — 9.Si,

2a, = Sl — St,

Le système des équations (8) peut aussi être étendu en sens opposé, à l'aide des identités

on en conclut la possibilité d'exprimer les sommes de puissances d'exposant négatif à Taide des fonctions symétriques fondamentales. Ces nouvelles sommes sont encore des fonctions symétriques; mais elles sont fractionnaires , au lieu d'être entières. Elles ne deviennent entières que si on les multiplie par une puissance convenable du produit ai ao . . . a^. Les deux premières formules ainsi obtenues s'écrivent

f o = Sft-t-^ ciiS/i-z -+-. ..4-a«i5-iH- a„s^t; en tenant compte de (7), on peut les écrite

«/i-i -+- anS-i = o, ^a^-î -+- an-iS-i -h anS-t = o.

Les formules (9) et (10), établies au § 15, donnent pour les fonctions fj^ les relations suivantes, que nous emploierons ultérieurement :

S I JFT^J =«» A- = o, 1,2, ...,n — I,

Au § 4, nous avons déjà trouvé l'équation

/fr(a7) — xfk-i{x) = a^.; il en résulte

et, d'après l'équation (9) du § 15, en supposant [i. < /i,

l68 LIVRE I. — LES PRINCIPES.

Tenant compte de l'équalion (12), il vient (.3) Si^~r^)=0 ou =,,

si [ji -f- A' := /2 — I , relation vraie pour toute valeur de A*, tant que [jL est inférieur à n.

Ces formules sont encore exactes, lorsque le coefficient de la plus haute puissance de x dans /(^) n'est pas égal à ï ; on pose alors

§ 47. — Démonstration du théorème fondamental pour le cas

de deux Tariables.

Nous arrivons maintenant à la démonstration du théorème fondamental. Comme nous allons la faire de proche en proche, nous commencerons par le cas de deux variables a et p, et nous procéderons de façon à faire apparaître l'idée directrice qui servira dans le cas général.

Désignons les fonctions fondamentales par

et posons, par suite,

(•2) f{x) = {x— ol){x —^) = x'^-\- ax -{- b.

Soit maintenant S (a, P) une fonction rationnelle, entière et symétrique en a et p. De l'équation (i) on peut tirer p = — (a -h a), le remplacer par sa valeur, puis développer par rapport aux puissances de a; on trouve ainsi

3) S(a,P) = S(a, — a — a) = Aoa'« -h A|a'«-» -f-. . .-+- A;„i a-f- A,,»,

formule dans laquelle les coefficients A ne dépendent que de a el des coefficients qui figurent dans S. Remarquons expressément que, si la fonction S ne renferme pas de coefficients fractionnaires, il en sera de même des coefficients Aq, A|, ....