CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Posons maintenant

divisons ^{x) par f{jc)^ (§ 3) nous obtenons ainsi un quotient Q et un reste; ce dernier est au plus du premier degré en x ; par suite

(5) *(ar) = Q/(a:)-h A-4-Bx.

Dans cette équation, A et B sont des fonctions entières de a et 6; elles ne renferment pas de coefficients fractionnaires, s'il en est de même de S. Si maintenant op fait x = a, /(a) s'annule et, par suite,

(6) S(a, P) = A-+-Ba.

Comme, d'autre part, S(a, P), ainsi que A et B, sont symétriques en a et ,â, on aura aussi

(7) S(a, p) = A-+-np.

a et p étant différents, on conclut de (6) et (7) que B est nul et, par suite, que

Le théorème fondamental est donc démontré dans ce cas particulier.

§ 48. — Démonstration générale du théorème.

Supposons maintenant le théorème démontré pour les fonctions symétriques de n — i variables, et démontrons qu'il est vrai dans le cas de n variables, en suivant un procédé analogue à celui du § 47.

Soit encore

(1) S = S{ai,a2, ..., a„)

une fonction symétrique entière des n variables a,, a2, . . •, a„. Ordonnons-la par rapport aux puissances de a^, et posons

(2) S = Soal^4-Siaf-*-h...-t-S,A,a, -f S^\

170 LIVRB 1. — LES PRINCIPES.

les coefficients S©, S|, ..., Sj^ de ce développement sont des fonctions symétriques eulières des n — i variables a^, . . . , a,^.

Désignons par a\^ a\^ . . ., a\^ les fonctions symétriques fondamentales de ces n — I variables; elles permettront d'exprimer rationnellement les coefficients So, S|, . . • , Sp^. Mais on a [§ 46, (u)el(3)]:

«î =/î(ai)= aî-+-aiai H- flf,

Il résulte de là que les coefficients So, S|, .. ., Sji peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de a,, ai, «2, .. . , ««. Remplaçons ces coefficients par leurs valeurs dans l'équation (2), et ordonnons de nouveau par rapport à a, -, il vient

L'exposant m est, en général, différent de [jl ; les coefficients A^, A| , . . . , A;,! sont entiers et rationnels par rapport à a^ , a^^ . . ., a/,. Posons comme précédemment

(4) *(a?) = AoJ7'"-i- A,ar'«-» -+- . . .-h A,„ia: -♦- A,„ , et divisons <ï>(a;) par

= (a? — a,)(j7 — aj) ... (a: — «rt).

Le reste de la division sera du degré n — i au plus; en désignant par Q le quotient et par i(:r) le reste, on pourra donc écrire

1(6) ^{x) = Co2r«-» -h Giar"-» . . . C„,a: -f- G«-,.

Cq, G|, . . . , C,i i sont des fonctions rationnelles et entières de ^f, a2, . . , a//, dont aucun coefficient ne sera fractionnaire, si la fonction donnée S n'a que des coefficients entiers. Remplaçons dans (5) a: par a, ; /(a,) est nul; donc

(7) S = ^;(aO.

Comme S est symétrique en «i, a2, ..., a;,, on peut remplacer