CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. I7I

dans le second membre ai par a2, . . . , a^;, et on obtient ainsi les équations suivantes :

-la,

si l'on considère ce système comme linéaire et homogène par rapport aux n inconnues C©, G|, ..., C;,2, C^.! — S, on voit que son déterminant est

D'après la formule (12) du § 2o, ce déterminant est égal au produit de toutes les différences de la forme a/ — a^ ; il est donc différent de zéro-, donc (§ 27, 11) le système n'admet comme solution que des valeurs toutes nulles; donc

et

Cq = O, G| =rt o, . . • î C/P—i = o

s — Cn~\ ,

formule qui démontre le théorème.

On arrive au même résultat à l'aide du théorème II du § 33. La fonction de degré n — 1

Coa?«-i -f- Cia7«-î -4-. .,-hCn-t^ -h Crt-i — S

s'annule pour n valeurs différentes de x, savoir a^ , a2, . . . , a^, ; par suite, tous ses coefficients sont nuls.

La démonstration que nous venons de donner, d'après Cauchy (*), fournit en même temps le moyen de calculer effectivement l'expression de la fonction symétrique à l'aide des fonctions fondamentales. Il en est de même pour les autres démonstrations.

C) Cauchy, Exercices de Mathématiques, 4* année.

Nous allons encore en donner une autre, qui conduit souvent à des calculs plus simples (* ).

§ 49. — Deuxième démonstration du môme théorème.

SoitS une fonction symétrique entière des variables a|,a2, ...,a„. Les termes de celte fonction sont tous de la forme

M étant un coefficient indépendant des quantités a. Il s^agit de ranger ces termes dans un certain ordre. Convenons d'écrire les variables dans l'ordre ai , a2, . . . , a„ par exemple. Nous dirons que le terme

est plus élei^é que le terme si la première des différences

ATi A. j , Aj — ATj, .-.j f^n — f^n^

qui est différente de zéro, a une valeur positive; on aura donc

Ai^A-p ou bien A-| = A', et A'a^A'a, etc. Nous supposons que tous

les termes, qui sont affectés des mêmes exposants A^, Ara, . .., A'/i,

ont été réunis en un seul; deux termes étant donnés, il est donc

facile de décider lequel est le plus élevé. De plus, si A est plus

élevé que A', et A' plus élevé que A", A est plus élevé que A*'.

Soit donc

A = M oc^i a*« . . . a J-

le terme le plus élevé de notre fonction S; il en résulte

(') Warino, Meditationes algebraicœ. — Gauss, Demonstratio nova altéra theorematis, omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factures reaies primi vel sec un di g r ad us resolvi posse. {Werke, l. III,