CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Si, en effel, k^ élail plus petil que k2, le terme Ma*«a*'..., obtenu par l'échange de ai eta2, devrait aussi figurer dans notre fonction ; il serait plus élevé que A, ce qui est contraire a l'hypothèse que nous venons de faire. Il en résulte de même

A'j^ÂTa, etc.

On en conclut que, dans le terme le plus élevé A, les exposants A"i, A'2, . . . , k,t vont en décroissant, ou du moins ne vont jamais en croissant, de telle sorte que les différences

Al A"î, A2 A3, .... A«l Kfi

sont positives ou nulles.

En outre, il ne peut y avoir dans aucun terme de S d'exposant supérieur à k^] sans quoi il y aurait un terme dans lequel ai aurait cet exposant et, par suite, A ne serait pas le terme le plus élevé de la fonction. Donc les termes, qui peuvent figurer dans une fonction symétrique, sont entièrement déterminés par le terme le plus élevé, et le nombre des termes différents est forcément un nombre fini.

Nous rangeons maintenant les fonctions symétriques d'après la suite d'exposants A'i, A'a, .. ., A*;, de leur terme le plus élevé. Etant données deux telles fonctions S et S' avec les suites d'exposants

A|j Al, •••> ^/I ^t A|, A'j, ... A",j,

la fonction S est dite plus éla^ée que S', si la première différence

Al A 1 , A J A'j, . . . , kfi A« }

qui n'est pas nulle, est positive.

La fonction d'ordre minimum est, d'après cela, celle dans laquelle tous les exposants sont nuls; la fonction symétrique est alors une constante. L'ordre immédiatement supérieur est

il lui correspond la seule fonction \

M(ai-h aj +. . .-I- a,,) = — Ma,.

L'ordre suivant est

174 LIYRB I. — LES PRINCIPES.

auquel correspond la fonction symétrique

Mai •+• M'aj.

Les n premiers ordres donnent ainsi les fonctions fondamentales elles-mêmes, ainsi que leurs combinaisons linéaires et n^en donnent point d'autres.

L'ordre suivant est caractérisé par la suile

les fonctions de cet ordre contiennent les combinaisons linéaires des fonctions fondamentales, ainsi que les sommes des carrés des variables.

Nous avons déjà démontré que, dans ces différents cas, la fonction symétrique peut s'exprimer rationnellement à l'aide des fonclions fondamentales. Pour démontrer qu'il en est encore ainsi pour les fonctions de l'ordre (A"^, /ra, . .., A*,,), nous supposerons que la démonstration a déjà été faite pour les fonctions d'ordre inférieur, et nous en conclurons le théorème général.

Remarquons d'abord que la multiplication de deux, fonctions symétriques S et S', ayant pour termes les plus élevés

A = M at« aÎ2 . . . a*-, A' = M' at'i aî'^ . . . aji

donne naissance à une fonction symétrique, ayant comme terme le plus'élevé le produit

AA' = MM'aJ.^*! aÎ2-+-*2. . . a*«+*«.

Supposons en effet que SS' renferme un terme plus élevé que AA', provenant de la multiplication des deux termes

d'où

BB' = NxN'a'.-^'i OL^M . . . a'"-^'''..

Si B et B' sont différents de A et A', la première des différences

/i-i- /; — (X-i-i- A'i), /,-!-/; - (A:,-+- Ai), . . ., qui n'est pas nulle, serait positive ; ce qui est impossible, puisque

sont toutes négatfves ou nulles.