CHAPITRE lY. — FONCTlOxNS SYMÉTRIQUES, J

En généralisant ce raisonnement, on voil que le terme le plus élevé d'un produit de plusieurs fadeurs provient du produit des termes les plus élevés des différents facteurs.

Les termes les plus élevés des fonctions symétriques fondamentales

ai, aj, aj, ..., a„

sont, abstraction faite du signe, donc le produit

est une fonclion symétrique dont le terme le plus élevé est le terme A de S.

La différence

est encore une fonction symétrique, dont le terme le plus élevé Test moins que celui de S; nous savons donc, par .hypothèse, l'exprimer rationnellement à l'aide des fonctions fondamentales. Or, P est déjà exprimé de cette manière; notre but est donc atteint. Comme précédemment, on voit que les opérations n'introduisent pas de coefficients fractionnaires, si la fonction S n'en contient pas.

Cette méthode de calcul des fonctions symétriques nous fait connaître en même temps le degré de la fonclion rationnelle et entière des quantités a,, a^, . . ., rt/,, au moyen de laquelle on peut exprimer une fonction symétrique déterminée des quantités

Soit en effet k^, kz, . - »^ kn la suite des exposants qui détermine l'ordre de la fonction symétrique; k^ est alors le degré de P par rapport à toutes les quantités éZi, a2, • . ., an] dans l'expression développée de S, il ne peut figurer de terme de degré supérieur; d'ailleurs, le terme P ne peut être détruit par aucun des • termes suivants, puisqu'il est complètement déterminé par Tordre de S, et que l'ordre de S' et de toutes les* fonctions symétriques suivantes est inférieur à celui de S.

Si donc nous remplaçons a^ a^^ , . . , Un par

CIq