CL

on voit que a*' S est une fonction entière et homogène de degré A"i par rapport à ^q, «i, . . . , a„; il est impossible de transformer S en fonction enlicre, en multipliant S par une puissance de a^^ d'exposant inférieur à A'i . L exposant k^ est donc déterminé par V exposant le plus élevé avec lequel une des racines a entre dans S.

§ 50. — Discriminants.

Nous avons appris, dans les paragraphes précédents, à exprimer rationnellement toute fonction symétrique des racines, à l'aide des coefficients de Téquation. Les résultats ont été établis en supposant que les racines (ou, ce qui revient au même, les coefficients) étaient des quantités indépendantes. Ces résultats restent évidemment exacts quand on remplace les racines par des valeurs numériques déterminées, puisque les fonctions symétriques entières au moins ne renferment pas de dénominateurs qui puissent devenir nuls.

Considérons d'abord quelques fonctions symétriques particulières qui sont importantes pour la suite. Nous avons remarqué au § 22 que le produit

/ P = («1 — aOC^i — a3)...(ai — a«) , . ) («2— a3)...(aj — a„)

ne fait que changer de signe, quand on permute entre eux deux éléments. Le carré de ce produit demeure donc invariable lorsqu'on fait une permutation quelconque des éléments a; c'est donc une fonction symétrique de ces éléments. L'ordre de cette fonction symétrique est, comme on le voit d'après (i),

(2/1 — 2, in — i, ..., 2, o).

Considérons la fonction /(jc), ayant pour racines a^ a^, ..., a„.