CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. I
et prenons-la sous la forme
le coefficient de la plus haute puissance de x n'étant pas égal à Tunité. P^ est alors une fonction rationnelle et entière par rapport à
ai ai
Elle se transforme en une fonction homogène par rapport à a©, «1, ...^a,t^ lorsqu'on la multiplie par aj"~^. Cette fonction homogène, définie par l'équation
aJ/'-2p2= D,
s'appelle le discriminant de la fonction f{x).
En faisant a© = i ^ on obtient la forme non homogène du discriminant (*). Il en résulte immédiatement que :
La condition nécessaire et suffisante pour que deux des racines deviennent égales est que le discriminant soit nul.
Établissons encore une seconde forme du discriminant. D'après la formule (12) du § 14, on sait que
[ /'(ai) = ^o(3ti — «sX^ti— ai)...(a, — a„), ) /'(^î) = «0(22 — ai)(atî — a,). . .(25— «„),
Chaque facteur a/i — a^t figure deux fois dans ce tableau, avec des signes contraires; il en résulte que
Wfff — t)
(5) D = (-i) » a3-V'^«.)/'(aO-. •/'(«..)•
D'après le § 2a, on a
I ai a I a2 a
nf/i — 1)
( *) Abstraction faite du facteur (— i) 2 a^"-', le discriminant est identique â la fonction que Gauss appelle le Déterminant de la fonction {lac. cit., art. 6). VV. la
Formons, d'après le § 30, le carré de ce déterminant en opérant à l'aide des colonnes; posons
il vient
tn-t
So
Si
Sf . .
Si
Si
Sfi
Si
Si
Sft—l
Sin-1
Les quantités Sm sont les sommes des puissances semblables des racines que nous avons exprimées au §46 à Taide des coefficients; remarquons seulement qu'à la place de a^, ^2, • . .. <2/i, il faut
mettre — j • • • ^ —
On trouve ainsi, pour n = 2 :
(8) pour n
D = alisoSt^ s\) = a] — i aoUt;
D = aJC^o^ï^i— 5o«J -+- 25|5ï53 — 5j5v — 5j).
D'après les forçnules du § 46, il faut poser
5q = 3, ao^i = — ai,
al Si = a\ — 2aoa2, a^s^ = — ajH- 3ao«i«s — ^^l^tzi
on en déduit
D = aja* -H iSaoaiaxaa — 4«o«j — 4«J«3 — ^7^l^l
Le discriminant D est une fonction irréductible des variables ao, a\ , «27 • • • î «/i (§ 20).
Supposons, en effet, que D admette un diviseur rationnel D| ; ce diviseur devra être homogène; donc, abstraction faite d'une puissance de a^ pouvant entrer en facteur, il s'exprimera rationnellement à l'aide des variables ai , ag, . . . , a,,. Mais D n'est divisible par aucune puissance de a^ ; si donc, D| n'est pas une constante, il contiendra les variables a, , a2, . . . , a„, et, d'après (3), il sera divisible par une des différences a,- — a^. Comme,.d'aulre
