CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. I
part, Df est symétrique en ai, a2, • • •, a;,, il sera aussi divisible par le carré de a/ — a^^, c'esl-à-dire par tout le produit P^ ; donc, abstraction faite d'un facteur constant, il est identique à D.
§51. — Critérium du nombre des racines distinctes.
Ainsi que nous l'avons vu, la condition, pour que deux des racines ai, aj, . .. , %n de l'équation f{x) = o deviennent égales, est que le discriminant D soit nul. On peut préciser davantage ce théorème et en déduire un critérium, permettant de reconnaître le nombre des racines distinctes de l'équation f{x) = o.
Désignons, comme précédemment, par^o?*^!) s^^ ... les sommes des puissances semblables des racines; soit v un nombre inférieur ou égal à n \ posons
Si St
5iv-î
en supposant a© = i , D„ coïncide avec le discriminant D de/(x). Pour exprimer ces fonctions Dy à l'aide des racines a,, démontrons la proposition suivante :
I. Choisissons v racines quelconques, par exemple ai , a2, . . . , Ov; considérons [§S0, (i)] le produit des différences de ces v racines deux à deux
On aura
1 fl(2 • • •
I OCv • . .
la somme S étant étendue à tous les produits Pv obtenus en choisissant les v racines ai, aj, . . . , Oy ûfe toutes les manières possibles.
On peut dire aussi que Dy est la somme des discriminants de
l8o LIVRE I. — LES PRINCIPES.
toutes les équations qui ont pour racines v quelconques des racines a/.
Pour le démontrer, écrivons le déterminant Dy de la manière suivante :
Dv
... 2a? ay-« 1 1
Sa*»»
Sa»aî I 1
... Sa^-»ay f 1
Appliquons le théorème final du § 30, en y posant
la formule (i6) de ce paragraphe donne immédiatement la formule (3).
On en déduit d'abord (§ 49) que a^^^Dy est une fonction entière de <2o? «n ^2î • . ., â5/i; en second lieu, on en déduit la proposition suivante, relative à Tégalité des racines :
IL Les conditions nécessaires et suffisantes pour que, parmi les racines ai, a2, . . ., a^, il y ait exactement o racines distinctes, sont
Dp^-i = o, Dp-Ht = o, ..., D„ = o,
Dp^ o.
Si, en effet, v est supérieur à p, chaque produit Pv contient deux racines a égales entre elles; par suite, il est nul. Si v = p, la somme ('3) contient un terme qui n'est pas nul, savoir le produit des différences des p racines distinctes ai, ao, . . ., ap; tous les autres termes de la somme sont au contraire nuls (').
§ 52. — Discriminants des formes du troisième et du quatrième ordre.
Un moyen simple de calculer les discriminants des fonctions du troisième et du quatrième ordre est fourni par les procédés de résolution de ces deux équations (§ 38, 40).
(*) Ce beau théorème est dû à M. L. Baur, qui l'a communiqué à l'auteur. {Math. Ann., t. L. )
CUAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. l8l
Considérons d'abord l'équation du troisième degré (i) x^-hax-hb = o;
ses racines sont données par les formules
Les quantités s et s^ sont les racines cubiques imaginaires de Funité
(3) e=^^^^, ^r = Zll^.,
u et ^ sont déterminés par l'équation (8) du § 38. Des formules (3), on conclut
par suite, on lire de (2)
d'où, en multipliant membre à membre,
Élevant au carré, et tenant compte de Téquation (6) du § 38, on trouve
On déduit de là le discriminant de la forme générale
en remplaçant a et 6 par leurs valeurs, fournies par les équations (4) du § 37, et en ayant soin, bien entendu, d'y remplacerai,
«2, ^3 par --? — , ~ et de multiplier par at. Il vient ainsi
'^ * '^ ao «0 «0
27 ai
l82 LIVRE I. — LES PRINCIPES.
on trouve donc
(8) D = — __[(2aJ — 9aoaiaî-i-27aJa3)«+4(3aoaî — a})»].
En effecluant le carré et le cube, on retombe sur la formule (lo) du § 50; il est à remarquer que la formule (8) semble contenir le dénominateur 270^; ce dénominateur disparaît, les calculs faits.
On peut procéder d'une manière analogue pour Téquatlon du quatrième degré. Soient a, [3, y, 5 les racines de l'équation
(9) a;* -f- aa?* -+- ôa7-h c = o.
En se servant des formules (5) du § 40, on trouve
Le discriminant de Téqualion (9) est donc
en d'autres termes, D est le discriminant de la résolvante du troisième degré [§ 40, (4)]
admettant comme racines w^, r^, iv^.
Formons ce discriminant à l'aide de la formule (10) du § 50; il faudra poser
ao=i, ai = 2Gf, aj = a* — 4<^> aa = — 6*;
il vient alors
(12) D = — 4a5 6* -+- i44ac/^« -i- iGa^c — i28a»c* h- 256c5 — 27^^.
Si, au contraire, on forme le discriminant de l'équation (i i) à l'aide de la formule (8), on trouve^
(i3) 27D = 4(a' -+- ï2c)» — (2a' — 72ac -h 276*)*.
On déduira de là le discriminant de la fonction du quatrième
