CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. l
degré la plus générale
(14) /(a:) = ûto^r* 4- «la:' -h a^a?* -I- ajar-h «4;
il suffira pour cela de lenir compte des formules (4) du § 37 et de remplacer a, b, c par
il faudra ensuite mettre à la place de ^i, a^, ^3, at les quotients
Clt ^t ^3 ^v
^0 ao ^0 Ce calcul supposé fait, posons, pour abréger,
f —y ~> — > et enfin multiplier par a", ao a© ao ao i r 0
(i5) A = aj — Saïas + laaoa^,
(16) B = i')a\a^ •+- lya^a^ ■+■ 7ia\ — 7-2aoa8av — gaiatas;
la formule (i3) donne alors
Les quantités A et B, dont nous aurons encore à nous occuper dans le Chapitre V, s'appellent le premier et le deuxième invariant de la forme du quatrième degré /. Il résulte de l'équation (17) que le discriminant peut s'exprimer rationnellement en fonction de ces invariants, mais sans que les coefficients soient entiers. Si l'on effectue les calculs indiqués dans la formule (17), pour exprimer D à l'aide des coefficients eux-mêmes, le facteur 27 disparaît. Nous nous dispensons d'écrire la très longue formule qu'on obtient ainsi; son calcul n'offre aucune difficulté.
§ 53. — Résultants.
La formation des résultants est une autre application de la théorie des fonctions symétriques; elle contient la formation des discriminants comme cas particulier.
Soient deux fooctioos rationnelles, de degré /i et /??,
(i) f{x) — a^x'* -4- aia:'»- * -+- a,a:"-» -+-. . .4- ««,
(a) ^(x) = 6oa7'«-+-6,ar'«-»-h^,ar'«-*-h...-+-6,„.
l84 LIVRE I. — LES PRII<ÏCIPES.
Soient ai, a^, . . . , ayj les racines de la première, de sorte qu'on peut écrire
(3) f{x) = ao{x — a,)(a? — a,)...(j7— a„).
Le produit
ç(ai)cp(x2)o(a3)...o(a;,)
est une fonction symétrique des racines de f{^)] par suite, il s'exprime rationnellement à l'aide des quantités
an
L'ordre de cette fonclion symétrique est (m, m, . . . , m) (§ 49); donc, la fonction
(4) R = aJ'^(aOf>(««) ••■?(««)
est une fonction rationnelle, entière, homogène, du degré m par rapport à ao, cl^, • . ., ^n' C'est évidemment aussi (sa forme le montre) une fonction entière et homogène du degré n par rapport à 6oî 6ij ""i bn- Elle s'appelle le résultant des deux fonctions/(x) et ©(j;). Cette dénomination se justifie par une seconde forme que nous allons donner à celte expression.
Soient pi, ^2, . . . , ^/n les racines de o{x), de sorte que
(5) <p(a:) = bo{x — p^) (x — p,) . . . (x — p,„). La formule (4) s'écrit alors
(6) R=<'6;JJ(a,-PA);
i prend toutes les valeurs i, 2, ..., /z; k toutes les valeurs i,
Cette forme nous montre que, si l'on fait abstraction du facteur ( — i)'"", R dépend de 'f (^) de la même manière que de/(^); on peut donc poser
(7) (-ir'*R = ^î/(?i)/(p2)...APm).
D'après cela, les discriminants sont un cas particulier des résultants; il suffit de prendre pour ^{x) la dérivée /'{x) de /(^).
