CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYMÉTRIQUES. l

I. La condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations f{x) = o^ y(j:)=o aient une racine commune est que leur résultant soit nul; c^est aussi la condition pour que les fonctions f{x) et ©(a:) admettent un diviseur commun.

L'équation R = o s'appelle quelquefois X équation résultante enlvef^x) = o et ^{x) = o; établir cette équation, c'est éliminer X entre les deux équations.

Le calcul des résultants peut se faire en se servant de l'algorithme du plus grand commun diviseur; supposons ni^n; on sait alors déterminer une fonction entière Q et une fonction entière *^{x) de degré inférieur à m, de telle sorte que

Remplaçons x par une racine ^i de l'équation o(j:)=:o; il vient

/(Pi) = 4'(?/).

11 en résulte

Soit m' le degré de à{x)] la quantité

(9) CjJ^^(3/) = H'

est le résultant de 'f{x) et de ^{x); donc

Le calcul du résultant R est donc ramené à celui du résultant R'. On peut ensuite diviser o(x) par '}(^), ce qui ramène le calcul de R' à celui du résultant de deux fonctions de degré moindre, jiisqu'à ce qu'on tombe finalement sur une constante, c'est-à-dire une fonction des coefficients a et b, qui doit être identique au résultant cherché.

Le calcul des résultants est, en général, compliqué. Nous ne traiterons que le cas simple où les deux fonctions sont du

deuxième degré :

y(a?) = «qj;* -f- ai J7 -H aj ,

o(x) = ÔqX^ -h bix ■+■ 6j.

l86 LlYRE I. — LES PRINCIPES.

Il est facile de calculer directement le produit

R = al(boOL\ -hbioci-h ^>j)(^o«î -+- ^i»! -+- ^i).

En tenant compte des relations

— ao(ai -i- aj) = ai, aoai2t=«î> on trouve

i R = alb\-ha\bl^bQbiaiai

\ — aoUibibi ■+■ b^b^a^ -+- aoa^b] — T-a^b^a^ 6,,

ce qui s'écrit

(12) R = (ao6j — 6o«ï)*-— («0^1— ai^o)(<'i^i — «t^j)-

Les différents termes du résultant de deux fonctions de degré n et m ont la forme

( 1 3 ) a*« a\' aî* . . . a)/* 6*« b\' . . . 6*r ,

avec les conditions

i A-0 + Al -+-...-+- A-rt = /?i,

f /lo -f- Al -h . . . -1- /l,rt = /l .

Ces exposants vérifient encore une autre relation. D'après l'équation (6), R est une fonction homogène de degré mn des m + /ï variables a et ^ ; «o? ^i> ^2? ••• sont respectivement de degré o, 1,2, . . ., par rapport aux variables ; en général, a/t et 6* sont de degré k par rapport à ces variables ; il en résulte

( 1 5 ) Al -+- 2^1 -+- 3 Xts -+- . . . -i- n A';, -1- ^1 -h a Aï -+- . . . -h m /i,« = mn,

SI Ton convient que l'indice k de a/ç et de b/ç sera dit le poids de la quantité correspondante, si on appelle poids d^iin produit la somme des poids des différents facteurs, la formule (i5) donne lieu à l'énoncé suivant :

IL Tous les termes du résultant développé ont le même poids mn.

Une somme dont tous les termes ont le même poids est dite une fonction isobarique; le poids commun des termes est dit le poids de la Jonction, Le produit de plusieurs fonctions isoba-