Nous pouvons poser

en désignant par z la variable x -f- iy. Les fonctions m et v admettant des dérivées premières sont continues dans une certaine étendue; on dira qu'il en est de même de la fonction f(z), et l'on en conclut immédiatement qu'on pourra donner à la quantité complexe h un module assez petit rj pour que l'on ait, quelque petite que soit la quantité positive e,

\f(z-hh)—f(z)\ <£, pour | h\ <rj,

le signe représentant maintenant le module de la quantité

complexe.

Nous avons dit que f{z) avait une dérivée unique. En la désignant par/'(^), on a

du .dv m,,\ au .dv dy dy

J J dx dx i

Passons à la notion à? intégrale pour une fonction analytique f(z). On suppose que la fonction f(z) et sa dérivée f'{z) soient des fonctions bien déterminées et continues (f) pour tout point (#, y) situé dans une certaine région du plan à contour simple. On entend par l'intégrale définie

/(*)<fc

prise le long d'une courbe G située dans cette région et allant du point z0 au point zt1 l'intégrale curviligne prise suivant cette courbe

( u -+- iv) ( dx -h i dy),

c'est-à-dire

Jf ( u dx — v dy ) -+- i I (v dx -4- u dy ). c *^c

Un théorème fondamental de Cauchy est que celte intégrale est indépendante du chemin suivi pour aller de z0 en z{.

(') Nous verrons au Chapitre V que ces hypothèses ne sont pas distinctes.

La démonstration est immédiate, si l'on se reporte aux propriétés fondamentales des intégrales curvilignes (t. I. p. 92) f1). Les conditions pour que ces deux intégrales soient indépendante du chemin suivi s'expriment en effet par les relations

Ou

ày

àv dx

àv dy

du dx

qui ne sont autre chose que les équations du système (S).

i. Considérons la limite supérieure zx comme variable, et désignons-la par r. L'intégrale

F(*) = f f{z)dz

sera une fonction de z. C'est une fonction analytique; écrivons-la en effet sous la forme

( u dx — v dy ) -4- 1 ' I (v dx -h u dy).

' v0,y0\ « cOty0)

En désignanl par I' et Q les deux intégrales qui figurent dans pression précédente, on ;i

dp

— u, dx

ày

dP

= v. ox

. , dP dQ àP <H) , . .

Les <|cii\ rqual mns — = ~> — = — 7-= sont donc Vérifiées.

1 ''./ tty dy dx

La dérh ée <!<■ I ( s) <->t égale à

àP .dQ ...

• 1 " y c est-a-dire u * w. Ox dx

el nous avons par suite !<■ théorème fondamental, i<»ui à fail ana-

111 qui se présente dès !<• début «lu Calcul intégral pour

une fonction d'une variable réelle, et qui esl exprimé par L'égalité

1 oii .m Tome l -«mi relatif .1 la I* édition de ce tome.

5. Les diverses remarques faites à propos des intégrales curvilignes, dans le cas où la condition d'intégrabilité est remplie, s'étendent aux intégrales d'une fonction analytique. Ainsi l'intégrale

prise le long d'un chemin fermé situé dans une région du plan, limitée par plusieurs contours, à l'intérieur de laquelle la fonction f(z) est bien déterminée et continue, ne change pas de valeur quand le contour se déforme sans traverser aucun des contours limites.