TOME II

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. — PROBLÈMES FONDAMENTAUX RELATIFS A L'ÉQUATION DE LAPLACE DANS LE PLAN.

I. — Définition des fonctions d'une variable complexe. Dérivée. Intégrale. Fonction harmonique.

1. Désignons par // et v deux fonctions réelles continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, des deux variables Mrs ./ ri )-. et formons la combinaison

où i représente le symbole ordinaire des imaginaires. Celte combinaison peut être regardée comme une fonction de la variable complexe

x -t- iy,

qui revient simplement à dire qu'à un système de valeurs <l« / el i spondenl une valeur dé u I /V, et par suite des valeurs

de h et v. Il «-si clair que la considération d'une telle fonction de / iy ne peut présenter aucun intérêt particulier! il n'i a là

PU Mtl>. il. 1

(i u' une question de mots, et la liaison par le symbole i de deux fonctions quelconques u et v est absolument inutile. Mais on peut ne pas laisser complètement arbitraires les fonctions u et i>, et chercher si cette fonction de x-\-ly ne pourrait avoir des caractères qui la rapprocheraient d'une fonction d'une variable réelle. C'est ce qu'a fait Cauchy, en cherchant les conditions pour que cette fonction ait une dérivée unique.

Quand la variable x H- iy reçoit un accroissement

dx -+- i dy,

la fonction u -f- iv éprouve un accroissement du -f- idv. La limite"

du rapport

du . du 1 . I dv , dv , \

. — dx -\- — d y -h i [ -y- dx -+- -r- d y)

du -i- i dv ax oy \ dx ay )

dx -+- i dy dx -+- i dy

quand dx -r- i dy tend vers zéro, sera, en désignant par u. la

limite de ~-3 dx

au du . / dv dv

dx dy \dx dy

elle dépendra de u,. La fonction u-\-iv de x-\-iy a donc pour chaque valeur de la variable une infinité de dérivées, dépendant de la manière dont dx H- i dy tend vers zéro.

Cherchons à quelle condition cette dérivée sera unique. Le rapport (i) ne devra pas dépendre de a; par suite, on a

ce qui exi£e

du dx

dv dx

du dx

du dy

du

ày

' ày' dv dx

.dv

dy

Si u et v satisfont à ces deux identités, la fonction u -f- iv a, en chaque point, une dérivée unique. On dit qu'elle représente une fonction analytique de x + iy.

2. Rappelons d'abord que nous avons déjà rencontré ces deux équations dans un important problème de Géométrie (t. I. p. 55c). En cherchant à déterminer a et v par la condition que

du* -+- dv* = X(c/r2 -f- d/2),

A ne dépendant pas des différentielles et étant seulement fonction de x et )', nous avons obtenu le système S et celui qui s'en déduit par le changement de v en — v. Ce résultat pouvait immédiatement s'obtenir en écrivant l'identité précédente sous la forme

( d a -+- i dv) ( du — i dv) = À ( dx -+- i dy ) ( dx — i dy)\

les deux facteurs du premier membre étant des formes linéaires en dx et dy, on doit nécessairement avoir

du -h i dv . du — i dv

SOlt -z 7—j- = (u, oit

dx -h i dy dx -t- i dy

u ci v ne dépendant que de x et y\ c'est-à-dire que u-\-'w ou u — w est une fonction analytique de x -\- iy.

\ oici encore, relativement au système S, une remarque aussi simple qu'importante. Soient u -f- iv et u -\- iv' deux fonctions analytiques de x-\-iy. On pourra regarder u[ -f- iV. comme une fonction de « + "'; je dis (pie cette fonction sera une fonction analj tique. ( )n ;i en effet

du -+- i dv du' H- i dv'

dx-\-idy ' ' dx \-idy

i y- ne dépendant que de # etjK, ou, si Ton veut, de // et c ( )n en conclut

du' h /' f/i ' |x' t

'/" H- £ <fp [i

le second membre ne dépend que de u <•! c ce qui démontre que u m est une fonction analytique de u,-\-iv. Celte propriété du ijstémi S est digne «le remarque; on peut la prendre comme poinl de départ pour chercher à généraliser la théorie des fonc Lions <l u iw variable complexe : c'est un poinJ sur lequel nous oui ona .i i l \ «nu .