Reprenons les équations du système (S
au dv du dv
dx à y dy dx
et supposons que, outre les dérivées du premier ordre, les fonctions a et v aient des dérivées du second ordre elles-mêmes continues ('). On tire des deux équations précédentes
et, par suite,
ôlu o»H' dx*- ()y dx
d*-u àx*
àyl '
<)x dy
et la fonction v satisfait à la même équation.
Réciproquement, soit une fonction u(x,y) satisfaisant à l'équation
v ' dx* dy*
On pourra déterminer une fonction telle que u ■+■ iv soit une fonction analytique de x -+- iy. La fonction v est donnée par l'intégrale curviligne
[X'y) au , du'
-r— dx H — — dy, dy dx J
(x) Nous établirons plus tard que l'existence des dérivées partielles de tout ordre pour les fonctions u et v est une conséquence de l'existence des dérivées du premier ordre.
intégrale où la condition d'intégrabilité est satisfaite, puisque l'équation (2) est supposée vérifiée. La fonction v est déterminée à une constante près, puisque la limite inférieure (a?fl, y0) est arbitraire.
Le résultat précédent est extrêmement important. 11 montre que l'étude des fonctions d'une variable complexe se ramène à l'élude de l'équation
dôc* "*" ày* ~~ °'
c'est-à-dire à l'équation de Laplace pour le cas de deux variables. Suivant une désignation introduite par les géomètres anglais, mous appellerons fonction harmonique toute fonction satisfaisant à l'équation précédente.
Dans les écrits de Cauchj et de la plupart de ses disciples, l'équation précédente intervient peu, et l'on raisonne sur la fonction complexe elle-même f( z) de la variable z. La simplicité el L'uniformité des raisonnements font de cette théorie une des plus attrayantes et des plus parfaites de l'Analyse mathématique (<). Y la suite d'un Mémoire fondamental de Riemann (2) L'étude des fonctions d'une variable complexe' a été ramenée de nouveau à sa véritable origine, à savoir l'élude de L'équation de Laplace ou du système (S). Ce point de vue est assurément plus philosophique; il a Le grand avantage de laisser de coté tout symbole, el La théorie • 1rs fonctions d'une variable complexe est, en définitive, L'étude des deui fonctions associées // et r de deux variables réelles a? et y satisfaisant aux deux équations
<hi dv ÔlA dv
>ir dy ày dx
Il ne faudrait cependant pas être exclusif. Lé symbolisme .1. dans certains cas, ses avantages, et bien des résultats extrême ment simples deviendraient d'un énoncé compliqué si l'on voulait
1 1 l'raiic classique de Briol el Bouquet sur les fonctions elliptiques, donl moitié esl un exposé <l<- la ihéorie générale des fonctions, esl fait
: » ' » î r 1 1 de \ ne.
Grundlagen fui eine allgemeine Théorie der Funclionen einer veran derlichen complexen Grosse [Œuvres complètet
CHAPITKK I
ne jamais introduire de quantités complexes. Après avoir donc fait l'étude de l'équation de La place, que nous allons tout d'abord entreprendre, nous reviendrons ensuite à la fonction complexe
7. 11 ne sera pas sans intérêt d'indiquer, dès à présent, une
première généralisation du système (S), qui est de M. Bel-
trami .(•). Considérons une surface £ pour laquelle le carré de
l'élément d'arc ds est exprimé, à l'aide de variables p et q, par
la formule
ds% = E dp2 -+- 2 F dp dq -h G dq*-,
E, F, G étant des fonctions de p et q (t. I. p. 549). Soient a et v deux fonctions de p et q telles que
du*+ dv* = X(É^/?2+2F dp dq -4- G dq*),
\ ne dépendant pas des différentielles.
En changeant, s'il est nécessaire, v en — c et remarquant que
Ë dp'2 -h 2 F dp dq 4- G dq*
\f E dp -+- — — dq
OU
on aura
et, par suite,
