II. — Théorème de Nother

10. On vient de voir que les singularités d'une fonction ou d'une courbe algébrique peuvent être très compliquées. Nother a démontré une proposition extrêmement importante sur la réduction des singularités. L'objet de ce théorème est de faire voir qu'on ne diminue pas la généralité de la théorie des fondions algébriques en se bornant aux courbes n'ayant d'autres points singuliers que des points multiples à tangentes distinctes (' ).

Soit/ (x, y) = o une courbe algébrique de degré /?z, dont l'origine sera supposée un point multiple d'ordre /£, c'est-à-dire à n tangentes. On peut mettre cette équation sous la forme

(E) ?»<>• y) + yn+-\(x, jK)-f-...+-?,»0, y) = o,

et admettre que les axes des x et des y ne rencontrent la courbe qu'en des points simples en dehors de l'origine, que les tangentes à l'origine ne coïncident pas avec les axes, et enfin que les directions asymptotiques sont distinctes et différentes des axes.

Cela posé, effectuons la transformation y=: — • A la courbe (E)

v;i correspondre point par point la courbe (E'), de degré 2 m — rc,