I. , P(Y,*)t=Y«-»çm(Y,i
■+■ #>• Y »'-«->■ vn+V Y, in-.. ,-+-xm-n om( Y, 1) = o.
A un point multiple (Tordre n' de la courbe (E), en dehors de I axe d ts x e! de I axe des^, va correspondre évidemment un point
multiple d'ordre n! de la combe | 17).
(') f.c Mémoire de Nother se trouve dans Le Tome t\ des Ifathematisehe Innalen. Halphen est reveau à plusieurs reprises sur le théorème de Nother; on
pourra bu 1 ter .1 ce sujet son Étude déjà citée sur les points singuliers des
courbes algébriques planes, qui forme un appendice au Traité de* courbée plan Salmon, et. où l'oa trouvera toute une bibliographie de cette théorie*
Ua démonstration queje donne ici m'a ét< communiquée par M. Simart.
A la valeur x — o sur la première courbe correspondent n valeurs de y nulles el m — n autres distinctes. A ces points correspondent, sur la seconde courbe, d'abord un point multiple d'ordre m — n (# = 0, Y = o), à m — n tangentes distinctes, puisque, pour x = o, les m — n valeurs correspondantes dey sont différentes entre elles et différentes de zéro; et ensuite n points simples ou multiples de l'axe des x, déterminés par on( Y, i) = o.
A la valeur x = cc correspondent m valeurs de Y distinctes; d'ailleurs, pour Y = go, les m — n valeurs de x sont distinctes.
Nous avons donc substitué à la courbe (E) une courbe (E') qui, en dehors de l'axe des x, a les points multiples de la première; mais qui a, au point x = o, Y = o, un point multiple d'ordre m — 7^, à tangentes distinctes, et, sur l'axe des Y (x = o), n points déterminés par ©W(Y, i) = o qui pourront être distincts ou confondus.
Supposons que l'équation ©«(Y, i) = o ait une racine multiple Y = Yt à laquelle corresponde un point multiple d'ordre n "£n.
Par une transformation homographique arbitraire
ax'^-by' a! x' -+- b' y'
on substituera à la courbe (E') la courbe de degré (2 m — n)
(Ei ) c?'n-(a?\ y') + ït+vc*', /)+•••-+- ?u-«(^', yj = o.
Cette courbe satisfait aux mêmes conditions que la courbe (E), et ses directions asymptotiques sont distinctes et différentes de zéro. Elle a, en dehors des points déterminés par ©«(Y, 1)1=0, x = o, des points multiples correspondant aux points multiples de (E), plus un point multiple d'ordre m — n à tangentes distinctes provenant du point x = o, Y = o, un autre point multiple d'ordre m — n à tangentes distinctes provenant du point Y — ce, et enfin un point multiple d'ordre m à tangentes distinctes provenant du point x = 00.
On fera sur la courbe (E, ) les mêmes transformations que sur la courbe (E), jusqu'à ce qu'on ait obtenu finalement une équation, telle que con(Y, 1) === o, dont toutes les racines soient distinctes. L'opération prendra fin certainement; car supposons qu'on
FONCTIONS ALGÉBRIQUES b'i'NE VARIABLE. 433
ait constamment ri = n. La courbe (E,), de degré m{ = 2 m — »,
a des points multiples correspondant à ceux de la courbe (E),
plus deux points multiples d'ordre {m — 11) à tangentes distinctes
équivalant à (m — n) (m — n — 1) points doubles, et un point
1 • 1 11 1 « t • 1 » ni (m — 1) multiple d ordre m a tangentes distinctes équivalant a ■
points doubles.
La courbe (E2), de degré m2 = 2 mK — /*, présente, par rapport à (E, ), les mêmes différences que (E, ), par rapport à (E).
Finalement, en désignant par dk le nombre des points doubles de la courbe E*, correspondant aux points multiples à tangentes distinctes successivement introduits, on aura
V ["/ W V 1 mi(mi— 01
/,= 2j \(ffU—n)(nii—n — i)^
i = fc-l
Or on a
rm = 11 ( ni — n) -+- n ;
donc
dk= -(m-ny^-ï-Tj-+-(ni-n) — (a*— 1) + A—— i.
La différence de ce nombre et du nombre maximum des points doubles, pour une courbe irréductible de degré m^,
( mk —\)(mk—i) est
| m — n)2 . .in — 3 , n ( n — 1 1 ( n — 1 ) ( n — 1 ) — — ( m — n) -+- k •
Celte différence deviendrait positive pour k suffisamment grand, ce qui est impossible ( ' ) ; il faut donc que n diminue jus-
( ' ) Nous admettons ici le théorème de Cramer Qu'une courbe de degré m irré-
ductible ne peut avoir plus de points doubles ou un nombre de
point*- inult iples à tangentes distinctes équivalent .1 ce nombre (le points doubles en regardant un point multiple d'ordre /. .1 tangentes distinctes coin me équivale ni
à - points doubles. On trouvera des explications sur ce sujet dans le dernier Chapitre de ce volume relatif aux courbes unicursales.
