I . équation en / devient

Si les racines sont distinctes, nous avons un contact de deux branches. Si les deux racines sont égales, nous nous trouvons dans le cas où l'équation (E) a une racine multiple : soit donc

b = — . Nous devons poser, d'après la théorie générale,

u — zP-h t ,

et il vient

o = t'*-h cs2/;+1 + . . .,

en supposant qu'il y ait dans l'équation un terme en z2p+*. Les termes qui renfermeront t' au premier degré contiendront au moins z?+i. Nous effectuerons donc certainement la séparation cherchée (dans l'hypothèse c ^é o) en posant

Le cas p = 2 correspond au cas classique du rebroussement de seconde espèce.

7. Arrêtons-nous un moment sur les systèmes circulaires en lesquels se trouvent partagées les différentes racines dont nous /enons de faire l'étude. Le développement peut s'écrire

u = Azn-h B-M~-f.'.. (A ^ o);

a est ici un entier au moins égal à l'unité, et si, comme nous le supposons, ce développement correspond à n racines, il ne pourra y avoir réduction avec un dénominateur commun moindre que n dans tous les exposants des diverses puissances de z. Au lieu du développement précédent, nous pouvons écrire

z = tn,

le premier coefficient A, il est essentiel de le rappeler, n'étant pas nul. Si a est supérieur à /ï, nous dirons que le cycle est d'ordre n\ au contraire, si a est inférieur à ?i, nous dirons qu'il est d'ordre a. On voit que, si l'on fait sur m et s un changement de variables linéaire, homogène et d'ailleurs arbitraire, les développements des nouvelles variables (que nous continuerons à

appeler u et z) auront leur développement suivant les puissances de t commençant par un terme en £N, N étant l'ordre du cycle. Ce nombre N est donc le véritable élément à considérer au point de vue du cycle en lui-même, indépendant du choix des variables ou du système de coordonnées. Les cycles d'ordre un sont particulièrement simples : dans ce cas, en prenant convenablement l'une des variables, on est assuré que la seconde variable s'exprime par une fonction holomorphe de la première dans le voisinage de l'origine; pour un point simple d'une courbe, le cycle correspondant à la branche qui y passe est manifestement d'ordre un. Faisons seulement encore la remarque évidente, d'après ce qui précède, que si, pour un cycle, on a les deux développements

A et A' n'étant pas nuls tous deux, le cycle sera au plus d'ordre n (' ). „.

8. Nous venons d'étudier la fonction algébrique u de z dans le voisinage dune valeur particulière de ^. Il nous faut maintenant considérer la fonction algébrique dans tout le plan. Nous allons faire voir que si l'équation

de degré m en u, est irréductible, on peut, en partant toujours du point z0 avec une certaine détermination f/0 et en suivant un chemin convenable, obtenir en un point arbitraire z une quelconque des racines de V équation précédente. En d'autres termes, la foin lion définie par l'équation précédente admet m valeurs en chaque point et, par suite, V équation définit une seule fonction dont les /// déterminations peuvent s'échanger en variant le chemin suivi.

La démonstration de ce théorème important va résulter «!<• suite des propositions générales établies précédemment sur les fonc-

('; Pour une étude approfondie des cycles, trèi intéressante au point de vue nétrique, mais dont noua u'aurohs point à faire usage, voii 17 tude sur les point* tingulien det courbe* planes, par Halphen, insérée fa la suite de la l métrie plane de M. Salmon.

tions uniformes. Si la fonction avait seulement un nombre p(p <C m) de déterminations, toute fonction entière et symétrique de ces p déterminations serait une fonction de z uniforme dans tout le plan et n'ayant d'autres points singuliers que des pôles (l'infini compris); elle serait donc une fonction rationnelle de z (p. 128). Les p déterminations satisferaient donc à une équation

où co est un polynôme en u et z, de degré p en w, et, par suite, le polynôme y ne serait pas irréductible.

9. Faisons une dernière remarque sur les points à l'infini. On peut toujours, en faisant une transformation homographique convenable, supposer que, dans la courbe algébrique

les m directions asymptotiques sont distinctes et qu'aucune d'elles n'est parallèle à l'axe des u. Ceci revient à dire que l'équation

où (fm est l'ensemble des termes homogènes de degré m, représente m droites distinctes, aucune d'elles ne coïncidant avec Taxe des u. Si alors tt, t2, . . . , tm désignent les m racines de

?m'(i, O = o, on aura pour les m valeurs de u les développements suivants

o U{ = ti Z H- 0.1 A -: -h...,

zj

valables pour \z | suffisamment grand.

J'ajoute encore que, dans la suite, il nous arrivera constamment d'employer tantôt un langage géométrique et de parler de courbe algébrique, tantôt, au contraire, de parler de la fonction u

de la variable complexe z. Il n'y a aucun inconvénient à le faire : les expressions géométriques de courbe, de points, d'axes O^ etOt/ pourraient toujours être remplacées par un langage analytique, mais qui serait quelquefois plus long et rendrait moins intuitifs les énoncés.