PU AMI». — II

qu'à devenir égal à l'unité (' ). 11 arrivera donc un moment où le point multiple, à l'origine de la courbe primitive, aura été remplacé, dans la courbe transformée, par des points multiples d'ordre moindre, et cette transformation n'a introduit par ailleurs que des points multiples à tangentes distinctes. On peut aller ainsi de proche en proche, et Von arrive ainsi à une courbe qui n'a plus que des points multiples à tangentes distinctes.

11. Appelons, d'une manière générale, transformation birationnelle une transformation de la forme

P et Q étant des fonctions rationnelles en oc et y, et où l'on a inversement

ï/ = Qi(X,Y),

P< et Q4 étant rationnelles en X et Y. Si la transformation (8) est susceptible de prendre la forme (9) pour tout point (#, y) du plan, nous dirons que c'est une transformation birationnelle de plan à plan ou de Cremona. Mais une autre circonstance pourra se présenter; il est possible que l'on ne puisse passer de (8) à (9) qu'en tenant compte de ce que le point {oc, y) se trouve sur une certaine courbe f(%-, y) = o. En désignant par F(X, Y) = o l'équation de la courbe transformée, on dit que les courbes f et F se correspondent point par point; mais cette correspondance n'est pas établie par une transformation de Cremona. Ainsi, la transformation

conduit à une transformation birationnelle de courbe à courbe, pour toute courbe n'ayant aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axes de symétrie.

(') On aurait pu arriver autrement à ce résultat, en montrant que la séparation des racines de l'équation primitive s'annulant pour x = o ne pourraitjamais être effectuée si n ne finissait par devenir égal à l'unité, ce qui serait en opposition avec les résultats de Puiseux.

On énoncera de la manière suivante le théorème de Nother :

On peut toujours, par une transformation de Cremona, transformer une courbe algébrique quelconque en une autre n'ayant que des points multiples à tangentes distinctes.

12. Nous allons maintenant faire un pas de plus, en ramenant tous lés points multiples à être des points doubles, cela d'ailleurs au moyen d'une transformation bi rationnelle de courbe à courbe et non de plan à plan.

Désignons par 0,0,, . . ., O,- les différents points multiples à tangentes distinctes de notre courbe T représentée par l'équation

Nous emploierons une méthode indiquée par M. Bertini (') :

désignons par

«i(^j)- Ui(x.v). tii(.r.y)

les trois cubiques indépendantes d'un réseau déterminé par le point O et six points arbitraires 13,, 132, . . ., Bc du plan. Nous nous appuyons sur ce résultat bien élémentaire que sept points pris arbitrairement dans un plan dé terminent an réseau de courbes du troisième degré

Àj U\ -f- À2 U-2 -h A3 ff.i = o.

Nous supposons, comme il est manifestement permis, que, si l'on envisage cinq quelconques des points B, soit B,, B2, . . ., B5, le sixième Bfl soit extérieur aux quatre lieux géométriques suivants : L, , Lj, Lj, L,.

J'appelle L, h' lieu du neuvième point, base <! Un faisceau de cubiques dont les huit autres points bases sont O, B, , . . . , B , ri deux points de I , dont l'un <-st nn point fixe C pris arbitrairement «•! dont l'autre C( esl variable. Le lieu La est !<• lieu du neuvième point, base d'un faisceau de cubiques qui passent pur <). I»,.

:m. Transformazione di min curva algebrica in un* al ira con

ioli punti doppi < Watkem&tUché Annalen, 1. \Ll\ i. <>n trourera une tutre

démonttrttîon du même théorème dans une Note de M Simarl [Comptes rendus

B m. 11 18',} (.s///- un théorème relatif à le trahsformation des courbes al gé-

Ijt i'/itrx j J.

B2, . .., B5 et touchent V en un point variable. Le lieu L3 est constitué par les ;• cubiques, dont chacune est décrite par le neuvième point, base d'un faisceau de cubiques passant par 0,B,, ..., B5 et tangente en 0/(/ — i , 2, ...,/•) à une droite pivotant autour de O/. Enfin le lieu L/( est composé de r courbes, dont chacune est engendrée par le neuvième point d'un faisceau de cubiques passant par O, B, , . . . , B5, 0/ et par un point .variable de T. Ceci posé, faisons la transformation

" w,(a?, y)' " iii(x, y)

Avec cette transformation, la courbe f se trouve transformée en une courbe F. A un point arbitraire (X, Y) de F correspond un seul point de f. Soit, en effet, (X, Y) un point arbitraire de F, les deux cubiques en (#, y)

X ui(x, y) — u*,(x,y)±=o, Y ul(x,y) — u3(x,y) = o

ont un seul point commun (#, y) appartenant à f (en dehors de O), car si les deux points de rencontre mobiles communs à ces deux cubiques étaient toujours sur/ [(X, Y) se déplaçant sur F], il arriverait en particulier à un certain moment que l'un de ces points serait C et l'autre un point Cf, et par suite il faudrait que B0 fût sur le lieu L,. Les deux courbes f et ¥ se correspondent donc point par point.

La courbe F ne peut pas avoir de points de rebroussement, puisque Bc n'est pas sur le lieu L2. Elle possède un certain nombre de points doubles provenant des points (x, y) et (x' , y') pour lesquels on a

Uj(x,y) = ut(x\y') ^ u3(x,y) u3(x',y') ^

ui(x,7) " ui(x',y') Ui{x,y) ~ u{(x\ y')%

La courbe possédera aussi des singularités correspondant à 04, Oo, . . . , Or) ces points seront de même nature dans y et dans F. Il ne pourra, en effet, y avoir de tangentes confondues, puisque BG n'est pas sur L3. Enfin le degré de multiplicité ne sera pas élevé, puisque Bc n'est pas sur L4.

Nous avons ainsi transformé notre courbe / en une courbe F

n'ayant que des points doubles à tangentes distinctes. Nous avons donc la proposition suivante :

Toute courbe algébrique peut , par une transformation birationnelle de courbe à courbe, être transformée en une courbe ayant seulement des points doubles à tangentes distinctes.

Ici on n'opère pas, en général, avec une transformation de Cremona (c'est-à-dire une transformation Irrationnelle de plan à plan), mais avec une transformation birationnelle de courbe à courbe.

13. Nous supposerons dans la suite que la courbe n'ait que des points multiples à tangentes distinctes et que les axes n'occupent aucune position particulière par rapport à la courbe (').

Soit toujours

l'équation de la courbe supposée de degré m. La fonction algébrique y de x définie par cette équation aura un certain nombre de points de ramification, c'est-à-dire qu'il y aura un certain nombre de valeurs de x autour desquelles deux valeurs de y se permuteront. Ces valeurs de x sont celles pour lesquelles deux valeurs dey deviennent égales, abstraction faite des valeurs de x correspondant aux points multiples, pour lesquelles, les branches étant distinctes, aucune permutation ne se produit. Les points de ramification correspondent doue aux points de contact des tangentes à la courbe parallèles à Oy. Soit (a, b) un tel point; l'équation de la courbe' peut s'écrire

6 se x — a + A(/ — b )2 -+- . . . ;

A ne sera pas nul, puisque Oy occupe une position arbitraire par rapporl à la combe. On aura donc bien

et l'on voit clairement la permutation des deux racines qui

(') Hicmann ne suppose pai que l'équation /' i ■. i o soi! <ln même d< en 7 et en x. Il n'y a pas à cela ri'intérêl pour la théorie générale) il en e^i .miirmenl pour certaines applications. Nous y reviendrons an Chapitre XVI (Sect. IV).

deviennent égales à b pour x = a. Le nombre des points de ramification sera manifestement égal au nombre des tangentes à la courbe parallèles à une direction arbitraire, c'est-à-dire à la classe de la courbe.

Supposons que la courbe ait a/ points multiples d'ordre i à tangentes distinctes; on sait (') que la classe sera égale à

et par suite, en appelant w le nombre des points de ramification,.

on aura

la somme S étant relative aux différentes valeurs de i (1^2).