III. — Des surfaces de Riemann

14. Joignons un point arbitraire O du plan à tous les points de ramification; nous formerons ainsi un certain nombre de lacets se suivant dans un ordre déterminé. Pour fixer les idées, numérotons-les dans l'ordre où ils se présentent de la. gauche vers la droite. Supposons que le premier lacet, le lacet 1, échange en O les deux racines a et b. Si nous suivons tous les lacets successivement en partant de O avec la valeur a, nous devons revenir à cette valeur, au moins après avoir parcouru tous les lacets, mais ceci peut arriver avant que nous arrivions au dernier lacet.

Supposons, par exemple, que le lacet 8 soit le premier qui nous ramène au point O avec la racine a. Nous avons marqué sur chaque lacet les deux racines qu'il permute. Nous allons modifier l'ordre primitif des lacets. Il peut y avoir, en dehors des deux extrêmes 1 et 8, un certain nombre de lacets permutant a\ il y en a deux dans la figure, les lacets 3 et 7. On va remplacer

(*) Nous admettons cette formule de Plucker, qui s'établit de suite en remarquant que la courbe x^j''x ■-+- y0f ' ■+■ z0f! =0 a, en un point multiple d'ordre i de/, un point multiple d'ordre i — 1 pour lequel aucune tangente ne coïncide avec une tangente de f{&0, ya, z0 étant arbitraires).

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE. 43g

le lacet S par un autre lacet parlant de O entre i et 2 et coupant les lacets qui permutent a; nous figurons en pointillé ce lacet qui va remplacer 8. Quelles racines permutera le nouveau lacet ainsi obtenu? Celui-ci est équivalent à un chemin, formé d'abord des lacets 2, 4> 5, 6 successivement parcourus qui ramènent manifestement la racine a quand on est parti au début avec cette

Fig. 37.

même racine, et terminé par les lards S. (i, 5, 4i 2 qui ramènent en O la racine b. Notre nouveau lacet permute donc a et b.

Ou remplacera d'une manière analogue les lacets - et l\ qui permutent a, en les faisant passer à gauche du iacel 8, comme l'indiquent les traits pointillés. On voit tout de suite que ces nouveaux lacets ne permutent plus la racine a. Prenons, par exemple, le nouveau lacet -. U sera équivalent au lacet <t<\ puis aux lacets ani et ae ; or /// est nécessairement différent de e, car autrement 8 ne serait pas le premier lacet ramenant (/. U est alors évident (pie le nouveau lacet - revient au lacet ae parcouru deux fois, c'est-à-dire

qu'il ne permute pas <( a\ee une autre racine.

Vous avons ainsi substitué aux Lacets primitifs mie nouvelle suite de lacets dont le» deux premiers permutent a et A ; les autre » lacets n'ont pas changé, sauf quelques-uns qui ont été remplacés par d'autres Lacets ne permutant pas a.

Partant maintenant toujours avec la valeur a, mais en commen-

I par le second Lacet de note.' nouvelle suite, nous allons bure

mes raisonnements que plus haut. Nous aurons alors une troisième succession de Lacets dont les trois premiers permuteronl

'/ et /'. et nous axons introduit de nouveau* lacets ne permutant nas u.

En continuant ainsi, il est évident que nous obtiendrons une . suite de lacets tracés dans un ordre tel que tous les lacets permutant a et b seront au premier rang et que tous les suivants ne permuteront plus la racine a. D'ailleurs le nombre des lacets permutant ab, ainsi obtenus, sera nécessairement pair, sinon, un contour partant de O, avec la valeur initiale a, ne pourrait pas ramener la racine a après avoir enveloppé tous les points de ramification, puisque, en dehors des lacets permutant a et b, il n'y a plus de lacets permutant a avec une autre racine.

Nous n'allons plus maintenant modifier les lacets permutant a et b, et nous laissons entièrement de côté, pour le moment, un certain angle du plan ayant O pour sommet et les contenant. On peut supposer que le premier lacet que nous rencontrons sur la droite (après les lacets ab) permute b avec une troisième racine c. Nous opérerons avec b et c comme nous avons opéré avec a et b ; on pourra donc grouper ensemble tous les lacets permutant b et c à la suite des lacets permutant a et /;, et ainsi de suite.

Finalement, nous pouvons supposer que les lacets qui joignent le point O à tous les points de ramification se composent, en allant de la gauche vers la droite, d' un nombre pair de lacets permutant a, et b, d'un nombre pair de lacets permutant b et c, etc., et enfin d'un nombre pair de lacets permutant k et l, en désignant par a, b, . .., k, l les m racines de l'équation f(u, z) .== o quand z est en O.

15. Nous pouvons définir maintenant bien nettement la surface de Riemann correspondant à la fonction algébrique dont nous faisons l'étude. Considérons d'abord les lacets A permutant a et b, soit at, a2, ..., ctC} (fig- 38), en les supposant au nombre de six. Joignons-les par des lignes a{ a2, ci3 ah, a-0 a6 de telle sorte que les triangles Oa, a2, Oa3 aA, Oaô aC) ne renferment aucun point critique à leur intérieur, ce qui est évidemment possible. Si l'on suppose que la variable z ne traverse pas les lignes précédentes, la racine u de l'équation f{u, z) = o, prenant en O la valeur a, sera une fonction de z n'ayant qu'une valeur en tout point du plan. Tout chemin ramènera en effet la même valeur en O ; la chose est évidente pour tout chemin qui n'enveloppe pas une des lignes précédentes, puisque aucun des lacets

autres que les lacets A ne permute a; quant à un chemin entourant a, a2, par exemple, il sera équivalent aux lacets at et a2 successivement parcourus et ramènera par suite a. Nous considérons donc un premier plan sur lequel sont tracées les sections

a, a2, a3ci;, c/sCiç, que nous appellerons sections A; nous désignerons ce plan sous le nom de plan a, rappelant ainsi que la fonction u, qui prend en O la valeur a% n'a qu'une valeur dans ce plan quand la variable z est assujettie à ne pas traverser les sections.

Nous envisagerons de même un second plan, superposé au premier, où Ton aura tracé les mêmes sections que dans le plan a et en plus des sections B correspondant aux extrémités des lacets b permutant b et c jointes de deux en deux : ce sera le plan b. La fonction u, prenant en O la valeur />, n'aura qu'une valeur dans ce plan si la variable respecte les sections A et B qui y son! tracées.

On continuera ainsi de façon à faire correspondre un plan, où sont tracées certaines sections, à chacune des racines a, />, . . . , /. Dans le dernier plan /, il n'y aura qu'un seul système de sections comme dans le premier plan <i. Pour tous les autres plans, il y aura deux systèmes de sections. Avec ces différents plans ou feuillets superposés, nous allons former une surface unique. Si l'on prend dmx points /// et m1 de côtés différents d'une section A, infiniment rapprochés de celle-ci. et situés respectivement sur le feuillet a et le feuillet 6, l«'s drux valeurs correspondantes de u w\ infiniment voisines l'une de l'autre) on obtient, en effet, la même valeur au point (m, m') (fi-. ;>i en pariant de O avec la valeur <i el suivant 1«' chemin C, qu'en p. niant de <> avec la valeur b et suivant 1<" chemin C. Imaginons donc que chaque sec Lion A son unr ligne de croisement pour 1rs Jeux feuillets a

et b, c'est-à-dire que l'on passe du feuillet a au feuillet 6, et inversement, chaque fois qu'on traverse une section A. Par ce passage, la continuité de la fonction u correspondante sera respectée. Nous établirons de la même manière des lignes de "croisement entre le