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feuillet b et le feuillet c : ce seront les sections B. On continuera ainsi en établissant successivement des lignes de croisement G, ..., K entre deux feuillets consécutifs; l'avant-dernier feuillet k sera lié au dernier feuillet / par les lignes de croisement R. L'ensemble des feuillets ainsi réunis peut être regardé comme formant une surface unique : on l'appelle la surface de Riemann ('), correspondant à la relation algébrique f(u, z) == o. On voit que la fonction algébrique u est uniforme sur cette surface de Riemann; à chaque point de celle-ci se trouve associée une seule valeur de w, qui est la valeur correspondante au feuillet sur lequel se trouve le point que l'on considère. .

Cette surface est d'ailleurs connexe, c'est-à-dire forme un continuum unique tel que Ion peut passer d'un quelconque de ses points à un autre quelconque de ses points, car on peut passer d'un lacet à un autre en remontant ou descendant la chaîne que forment les feuillets successifs. Le théorème précédent, d'après lequel les feuillets successifs d'une surface de Riemann peuvent être liés les uns aux autres de manière qu'il n'y ait de lignes de

(*) Le Mémoire fondamental de Riemann où la notion du plan recouvert de feuillets a été introduite pour la première fois est intitulé : Théorie der abelschen Functionen (voir les Œuvres complètes de Riemann). Les surfaces de Riemann ont été surtout étudiées en Allemagne. On trouvera dans le premier Chapitre de la Thèse de M. Simart (Paris, 1882) un exposé très complet et très rigoureux des théorèmes relatifs à la connexité de ces surfaces, qui pour la plupart ne sont qu'énoncés par Riemann. Nous aurons à citer dans un moment Clebsch et Luroth qui ont apporté une importante contribution à la théorie.

croisement qu'entre deux feuillets consécutifs, a été démontré pour la première fois par Liiroth (Matliemalische A Finale n, t. ÏV).

16. Nous allons faire subir une transformation à la surface de Riemann que nous venons de construire. Notre but est de faire voir qu'on peut s'arranger de telle manière qu'il n'y ait qu'une seule ligne de croisement A, une seule ligne de croisement B, et ainsi de suite jusqu'à l'avant-dernier système de lignes de croisement : il v aura seulement, entre l' avant-dernier feuillet et le dernier, un certain nombre de lignes de croisement généralement supérieur à un.

Considérons six lacets consécutifs dont les quatre premiers permutent a et b, et les deux derniers b et c. Marquons mit la ligure •ces six lacets ( fig> 4°)-

Fig. 4o.

Nous allons d'abord faire passer au quatrième et cinquième rang le troisième et le quatrième lacet ab en les formanl avec les Lignes pointillées partant dans l'angle formé par les deux lacets bc. On \oii immédiatement que les deux nouveaux Lacets permuteront a ci c.

Nous avons alors une nouvelle disposition que nous figurons de nouveau {fig- |i). Nous y remplaçons les deux Lacets ac par deux autres lacets obtenus au moyen des Lignes pointillées el qui vont prendre Le premier el le deuxième rang; ces deux nouveaux lacets on le \<>ii tout de suite, permuteronl les racines b et c.

Nous aurons doue, après ers deux transformations, deux Lacets consécutifs 6c, deux lacets consécutifs ab et deux Lacets consécutifs bc. On voit que deux lacis consécutifs ab oui été remplacés par deux Lacets consécutifs bc. On pourra ainsi faire disparaître tous Les systèmes de deux Lacets cou sec utils <ih. sauf un seul.

On opérera de la môme manière pour ne garder qu'un système de deux lacets consécutifs bc, et ainsi de suite. Il n'y aura que pour les deux dernières racines qu'il sera impossible de faire une pareille réduction; nous aurons alors pour ces deux dernières

racines un nombre, qui pourra êtie quelconque, de deux lacets consécutifs.

Revenons à la surface de Riemann, construite comme nous l'avons indiqué plus haut, mais en employant ces nouveaux lacets. Il est clair que le premier feuillet sera seulement lié au second par une seule ligne de croisement; il en sera de même pour le deuxième et le troisième feuillet, et ainsi de suite; les deux derniers feuillets seuls auront entre eux un certain nombre de lignes de croisement. Nous désignerons ce nombre par p ■+- i. La possibilité de former une surface de Riemann, où les feuillets sont réunis les uns aux autres à la manière d'une chaîne, et où chaque feuillet, sauf les deux derniers, est réuni au suivant par une seule ligne de croisement, a été indiquée d'abord par Clebsch (Mathematische Annalen, t. VI).

17. Nous avons désigné par p H- 1 le nombre des lignes de croisement unissant le (m — j^me feuiHet au mième. On peut exprimer de suite p en fonction du nombre w des points de ramification. Nous avons un nombre de lignes de croisement égal à

Ce nombre doit représenter la moitié du nombre des points de ramification; d'où la formule

On peut encore exprimer/? en fonction du nombre des points multiples de la courbe. On a, en effet, comme nous l'avons

vu (§ 13),

w =c m (m — i ) — 2, %i * ( * — x ) • On en conclut

18. La surface de Riemann S est, en définitive, une surface connexe, pour laquelle à chaque point correspond un seul point de la courbe algébrique, ou, si l'on aime mieux, un seul système de valeurs de x et y satisfaisant à la relation algébrique

Il est manifeste qu'une telle surface n'est pas unique. Toute autre surface que l'on pourra faire correspondre point par point à la surface S jouira de la même propriété que cette dernière. On aura, en particulier, une telle surface en déformant la surface de Riemann regardée comme flexible et extensible, en supposant, toutefois, qu'on ne produise pas de déchirures ni de duplicatures. Dans ces conditions, on peut regarder les deux surfaces ainsi transformées comme applicables lune sur l'autre. Il est clair que Ton ne prend pas le mot applicable dans le sens de la Géométrie infinitésimale. Il ne s'agit ici que de Géométrie de situation, Analysis situs, comme disait Riemann, et nous voulons dire que la déformation continue, qui permet de passer d'une surface à l'autre, peut être regardée comme établissant une correspondance bien déterminée entre les points des deux surfaces (* ).

Nous allons donc faire subir à S une déformation qui aura le grand avantage de rendre plus objective la surface en la dilatant en quelque sorte dans L'espace à trois dimensions (2).

(') M. Jordan ;i publié des recherches importantes sur ta déformation des surentendue comme il rienl d'être dit {Journal de Liouville^ •' série, i. M. i. Il démontre, en particulier, que deux suif, pin fermées ayant le même nombre de troua -'>ni applicables l'une sur l'autre. Voir aussi, sur des questions analogues, deux Mémoires de M, Klein ( Math innaien, t. VII et l\).

(2) Pour faire eette transformation nous s somme servi de la méthode

empl ir le géomèln lis Cliffbrd dans on petit Mémoire, d'une remai

Une première modification, qui ne modifie en rien le caractère de la surface de Riemann, consiste à faire, par rapport à un point arbitraire de l'espace, une transformation par rayons vecteurs réciproques du plan sur lequel sont disposés les m feuillets. Au lieu de m feuillets plans, nous avons alors m feuillets sphériques superposés. Deux feuillets successifs de la sphère sont liés par une seule ligne de croisement, excepté les deux derniers, qui sont liés par p H- i lignes de cette sorte.

C'est la surface formée de ces m feuillets sphériques que nous voulons déformer. Considérons d'abord le cas simple où il y aurait seulement deux feuillets réunis par une seule ligne de croisement A B, que l'on peut supposer être une portion d'un arc de grand cercle. Nous avons alors deux feuillets, un feuillet interne et un feuillet externe. Déformons le feuillet interne en son symétrique par rapport au plan du grand cercle contenant AB; dans cette déformation, les deux hémisphères de ce feuillet interne doivent, à un certain moment, se pénétrer l'un l'autre, mais cela a lieu sans que la continuité de l'un ou l'autre soit altérée. La modification que nous avons fait subir au feuillet interne a pour conséquence que, quand un point cheminant sur le feuillet externe rencontre la ligne île croisement, il reste du même côté de cette ligne après l'avoir traversée, la surface s'étant en quelque sorte repliée sur elle-même le long de la ligne de croisement. On aura une idée très nette de la nouvelle surface en considérant la surface de la sphère comme ayant deux côtés, l'intérieur et l'extérieur; on passe de l'un à l'autre quand on rencontre AB, qu'on peut regarder comme une véritable section faite dans la surface. On peut agrandir le trou fait dans la surface par AB et le regarder comme formé par une courbe fermée, un cercle par exemple. Notre surface se composerait alors des côtés interne et externe d'une calotte sphérique. Mais nous pouvons encore modifier cette surface avec un trou. Cette double calotte peut être déformée

quable simplicité, consacré à cette théorie [On the canonical form and dissection of a Riemann's surface ( Proceedings of the London mathematical Society, vol. VIII, n° 122)]. D'après une indication de M. Klein (Math. Annalen, t. XLV, p. 142), M. Tonelli avait antérieurement déjà considéré des surfaces à p trous dans l'espace {Atti dei Lincei, t. II, série II), au point de vue de VAnalysis si tus „

en un disque plan que l'on considérerait comme ayant deux faces, le passage de lune à l'autre avant lieu parle périmètre du contour. De ce disque, si l'on veut, on peut encore faire une sphère et, d'une manière plus générale, une surface sans trou. On pourrait aussi passer de la double calotte à la sphère en ramenant, d'une manière continue, la face interne de la calotte à la zone manquant dans la sphère.

Considérons un second cas particulier. Soient, ton jours sur la sphère, deux feuillets, mais avec p + i lignes de croisement. On peut évidemment, par une déformation préalable des feuillets, supposer que ces lignes sont situées sur un même grand cercle de la sphère. Nous pouvons alors appliquer au feuillet intérieur le même procédé que tout à l'heure, c'est-à-dire le remplacer par son image par rapport au plan du grand cercle contenant les Lignes de croisement. On sera alors ramené à une double surface sphérique ayant p -f- i trous, et l'on passe du côté externe au côté interne de celte surface par le périmètre de chacun des trous. Un de ces trous peut être supprimé, et nous pouvons convertir notre surface en un disque plan à deux faces, disque à l'intérieur duquel il reste p trous. On peut, si l'on veut, dilater les deux faces du disque, et l'on a finalement une surface avec p trous qui est applicable sur notre surface primitive de Riemann.

Abordons enfin le cas général. Les feuillets successifs seront

dans l'ordre i, a m en allant de l'intérieur vers l'extérieur,

et c'esl entre Les feuillets m — 1 ci /// qu'il y a/? -+-1 lignes de croisement, et I on peut supposer que toutes les lignes de croisement sont sur des grands cercles. Nous transformerons le premier feuille! eu lui substituanl son image par rapport au plan du grand

l<- qui contient la ligne de croisement du premier feuillet au

second, et, eu opérant comme précédemment, nous pouvons subshiuer un -cul feuillet à l'ensemble des deux premiers feuillets. Le même procédé peut être appliqué une nouvelle foi-, et ainsi de suite, jusqu à <•<• qu'on arrive a deux feuillets ayant /> -f-i lignes de croisement, ("est le cas étudié ci-dessus, ci nous arrivons a la conclusion définitive qu'âne surface de Riemann, à un nombre quelconque de feuillets, peut être appliquée sur une surface

a p trous.

19. INous avons supposé, dans ce qui précède, conformément au théorème de Clebsch, que chaque feuillet est lié au suivant par une seule ligne de croisement. Il est aussi facile d'étudier le cas général où les feuillets étant toujours liés à la manière d'une chaîne, le premier est lié au second par kt lignes de croisement, le second au troisième par k2 de ces lignes, et ainsi de suite, le (m — Iyfme feuillet étant lié au /nKmc par km i lignes de croisement. On peut faire subir aux feuillets supposés sphériques les mêmes déformations. La transformation du premier feuillet amènera k{ — i trous; celle du second, k2 — i, et ainsi de suite. On transformera la surface en une surface à

A-, + Z-2-»-.. .-+- km-x— (m — i) trous. En désignant encore par/? ce nombre de trous, on a

p -+- m — i = ki -+- . . . •+- km-x .

D'autre part, w désignant le nombre des points de ramification, on aura

W == 2(#!-K . .-h km-i),

et la formule

déjà rencontrée au paragraphe 17, est donc générale.

20. Faisons quelques remarques très importantes sur les circuits qu'on peut tracer sur une surface de Riemann. Pour bien fixer les idées, nous pouvons prendre comme schéma de la surface, sur laquelle nous allons raisonner, un disque plat à deux côtés et ayant p trous. Nous appelons circuit toute courbe fermée tracée sur la surface. Certains circuits, sur lesquels l'attention se porte d'elle-même, vont jouer dans la théorie un rôle capital : ce sont les circuits qui tournent autour d'un trou et ceux qui passent à travers un trou.

Soit le disque A (fi g. 42) à trois trous y, y', y". Un circuit autour du trou y sera une ligne fermée C entourant une fois le trou y. Ce circuit C, que nous avons tracé en traits pleins, est à considérer comme se trouvant sur le côté supérieur du disque. Un circuit à travers le trou y sera un circuit tel que D coupant

une fois A et y, et se fermant sur ie côté inférieur du disque par la ligne marquée en pointillé sur la figure. Nous pouvons de même, autour des trous y' et y", tracer les circuits G' et G", et à travers ces trous les circuits D' et D". Ces six circuits vont jouer le rôle de circuits fondamentaux, c'est-à-dire que tout autre circuit tracé

Fig. 42.

Fig. 43.

sur la surface peut être réduit, par une déformai ion continue, à coïncider avec un chemin formé d'un ou plusieurs de ces circuits et d'arcs parcourus deux fois dans des sens différents. La démonstration de ce théorème est immédiate. Remarquons d'abord qu'un circuit tel que D" {fig, 43) qui passe à travers les trous y et y' se ramène de suite par une déformation continue aux deux circuits D et D' parcourus dans des sens convenables, sans parler des arcs parcourus dans des sens contraires. En second lieu, i<>ul circuit tracé sur un seul côté du disque se ramène à une somme <le circuits G, G', C". Enfin, pour un circuit quelconque, on considérera deux points de rencontre consécutifs de ce circuit avec une des Lignes A, y, ■/, y". En associant à cette partie du circuit une ligne suc L'autre côté de la surface, formant avec elle un circuit à travers un ou plusieurs trous, on détachera déjà du circuit total un circuit réductible aux circuits G et D. et l'on aura alors un nouveau circuit pour lequel on continuera la réduction jusqu'à ce que le circuit, après ces soustractions successives, reste d'un même côté du disque, et, finalement; <>n aura bien ramené le circuit primitif à une somme de circuits G el l>. abstraction faite d'arcs parcourus deux fois en sens inverse,

Si, au heu de tmis trous, la Surface ;ivail p trous, nOUS aurions

évidemment p systèmes de lignes G et I >.

picard. — il.

45o CHAPITRE XIII.

21. Nous arrivons maintenant au point fondamental dans la théorie des surfaces de Riemann. Donnons tout de suite une définition : une surface connexe est dite à connexion simple quand elle est limitée par un seul contour, c'est-à-dire un contour pouvant être parcouru d'un trait continu, et que tout circuit tracé sur la surface ne traversant pas le contour peut se réduire à un point par une déformation continue (le contour étant toujours respecté pendant la déformation).

Considérons l'ensemble des deux courbes C et D, et imaginons que l'on fasse (avec un canif) une section de la surface suivant chacune de ces deux lignes. Nous pouvons alors envisager chacune de celles-ci comme des lignes doubles, infiniment rapprochées situées de part et d'autre delà section. L'ensemble des deuxlignes doubles C et D forme alors une courbe unique, que l'on peut

parcourir d'un trait continu sans franchir jamais la section : c'est ce qu'indique bien nettement la figure 44? que lon regardera d'abord en faisant abstraction de la ligne pq.

On désigne souvent sous le nom de rétrosection (riïckerschnitl) le contour unique, formé, comme il vient d'être dit, avec les deux bords des deux sections. Nous pourrons ainsi tracer p rétrosections sur la surface.

Joignons un point de la première de ces rétrosections à la seconde par une courbe le long de laquelle nous fendrons encore la surface, et qu'alors nous considérons encore comme une ligne double. Nous joindrons de même la deuxième à la troisième rétrosection par une ligne analqgue, et enfin la (p — I)i(me à la j9îèm% les différentes lignes auxiliaires ne se coupant pas (elles peuvent avoir seulement, si l'on veut, une extrémité commune).

Ainsi, on pourra prendre, si p = 3, les deux lignes pq et rs

(ftg.45).

L'ensemble des sections à deux bords, que nous venons de tra-

Cer7 peut être regardé comme un contour unique et fermé \\. susceptible <V être parcouru dun trait continu. La figure \ j. où nous avons ligure l'arrivée de la section pq, le montre d'une manière bien claire.

Fig. |">.

Le trace du contour K n'empêche pas la surface de rester connexe, c'est-à-dire qu'on peut aller d'un point quelconque de la surface à un autre point quelconque sans traverser K. Il faut maintenanl établir que tout circuit tracé sur la surlace, ne rencontrant pas le contour R, peut se ramené?' à un point par une d<:formation continue.

Nous ferons cette démonstration, d'une manière pour ainsi dire intuitive, en reprenant le disque plat avec ses trois trous i pour fixer les idées).

Prenons comme Lignes auxiliaires les deux segments pq el qs de V (fig* i<)) compris entre les points où les lignes D, qui sont

Fîg. 46.

simplement figurées bui cette figure par <l<-s lignes droites sur fa