partie supérieure du disque, rencontrent \ : quant aui lignes

■oui n i les périmètres y, des trous. Relativement .1 la

partie restée libre ps de A, nous pouvons sans inconvénient la supposer rectiligne. Séparons alors les parties inférieure et supérieure du disque en faisant subir à l'une d'elles une rotation de deux angles droits autour de ps. Nous aurons alors la nouvelle ligure ci-dessous (fig* 47)-

Fig. 47- A, A

La surface est alors tout entière du même côté du plan; elle est limitée par le contour extérieur, et à l'intérieur se trouvent six trous, joints par des coupures à ce contour extérieur. On voit manifestement que tout circuit tracé sur le plan, ne traversant pas les lignes y et les coupures correspondantes, se réduira à un point. La figure donne l'exemple d'un tel circuit représenté par la ligne pointillée.

22. Les résultats que nous venons d'obtenir pour la surface dilatée dans l'espace s'appliquent immédiatement à la surface primitive de Riemann des m feuillets superposés, puisque ces deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, au sens dont nous sommes convenus.

Prenons le cas de deux feuillets avec p -+- 1 lignes de croisement. Gomme nous l'avons vu (§ 18), dans la transformation de la surface en un disque plat sl p trous, une des lignes de croisement devient le bord extérieur du disque, et les p autres deviennent les périmètres des trous. On voit donc de suite les circuits qui vont jouer sur la surface le rôle des lignes G et D. Autour de p des lignes de croisement, traçons sur un des feuillets p circuits : ce seront les analogues des lignes C; on obtiendra les analogues des lignes D en traçant des circuits rencontrant chacune des

lignes précédentes et traversant la (p-\- i)ième ligne de croisement. 11 ne reste plus qu'à joindre, à la manière dune chaîne, chacune des rétrosections ainsi formées par des lignes analogues de pq, rs, .... On a alors sur la surface de Riemann un contour unique K, et tout circuit tracé sur la sur/ace et ne rencontrant pas ce contour peut se réduire à un point (point à distance finie ou à l'infini).

Soit, comme exemple, p = 2. Nous aurons alors trois lignes de croisement A, et l'on construit de suite les rétrosections (G, D), (C, D') qu'on unira par la ligne (a,3) (fig* 48). Ces rétrosec-

tions sont toujours à considérer, ainsi que a(3, comme [des lignes doubles, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut.

23. Nous possédons les notions essentielles sur les surfaces de Riemann. Nous n'aurons maintenant aucune difficulté à suivre h' mouvement d'un poinl sur une telle surface. En tout cas, en «irani à La surface percée de /; trous, dont Le schéma est si simple, « » 11 m une représentation extrêmement précise qui permet de voir directement les choses sans aucun effort.

\ oici encore une remarque importante pour La suite : i<»ut circuit é sur li surface de Riemann, rendue simplement connexe par ontour l\ . peut être regardé, abstraction faite de chemins parcourus deux fois en sens contraires, comme une somme de circuits respectivement tracés sur un seul feuillet de I" surface^ et de circuits entourant un seul poinl «le ramification.

Il suffira, pour l'établir, de considérer l<- <;is <!<• deui feuillets réunis par p -}- 1 Lignes de croisement. En se reportant à La

figure 477 où sont représentés les deux côtés du disque dédoublé, on voit qu'un circuit tel que le circuit pointillé peut se ramener à une somme de circuits, situés les uns à droite, les autres à gauche de la droite joignant les points p et s, et de circuits très petits entourant les points de la droite ps (s'il en existe) qui correspondraient à des points de ramification : c'est ce que nous voulions démontrer.

IV. — Application des théorèmes de Cauchy aux fonctions de la variable complexe sur la surface de Riemann.

2i. Nous nous sommes placé jusqu'ici uniquement au point de vue de la Géométrie de situation sur la surface de Riemann. Considérons maintenant une fonction de la variable complexe sur cette surface. Je prends d'abord une fonction uniforme dans une certaine région de la surface. Un point A sera un pôle pour une telle fonction s'il est un pôle pour la fonction considérée sur le feuillet où se trouve A, et nous n'avons aucune définition nouvelle à donner. Une remarque doit cependant être faite pour le cas où A serait un point de ramification. Soit (a, b) ce point; on sait que y — b est développable suivant les puissances entières de x , en posant

Nous dirons que le point (a, b) est un pôle pour une fonction F uniforme dans la région considérée de la surface de Riemann, si l'on a, dans le voisinage de (a, 6), le développement suivant :

-17 >A Aj A,u 2 Am i

Ce développement représente bien une fonction uniforme sur la surface dans le voisinage de (a, b), puisque, aux deux déterminations de sj x — a, correspondent les deux nappes de la surface. Il ne sera pas inutile de chercher la valeur de l'intégrale

F dx

FONCTIONS ALGÉBRIQUES i/lNE VARIABLE. 4^5

le long d'un circuit G entourant (a, h). Ce circuit aura la forme

ci-dessous (fig. 4<))-

Fig. 49.

Dans le plan de la variable x\ le circuit précédent revient à un circuit entourant une fois le point x' = o, et comme on a

l'intégrale cherchée prise dans le sens positif sera égale à

On voit donc que c'est le coefficient double de dans le déve-

loppement de F qui jouera le rôle analogue au résidu.

2o. Ceci posé, considérons une fonction F n'ayant en tout point de la surface de Riemann qu'une seule valeur et n'ayant d'autres singularités que- des pôles. Un exemple d'une telle fonction est donné par les fonctions rationnelles de x et y. Nous voulons montrer qu'il n'y en a pas d'autres.

Désignons par u une telle fonction, elle aura nécessairement,

pour chaque valeur de .r, m valeurs //,, i/s, ..., //,„, <i soient

aussi r, . ) 'a, . ..,y„, les différentes valeurs de y correspondant à

cette valeur de x(u; et r, correspondant à un même feuillet ). Des

expressions

U\ -+- M2-h. . .-+- Km,

"iJ'i',-,-H^v;"-|+-..-t-«/iiJ'i;i '

seront des fonctions uniformes de .r et, par suite, seront des fonctions rationnelles de cette variable (Chap. \. § 18) puisqu'elles ne peuvent avoir d'autres points singuliers que des pôles

(le point à l'infini compris). Ecrivons donc

les R étant des fonctions rationnelles de x. On peut résoudre ces équations du premier degré en u{, u2-, ..., um\ on aura pour l'une de ces quantités, soit w,,

Ui= F(x,yi,y2,y3, ...,ym),

F étant rationnelle en x, yu y2, • • . , ym> De plus, cette fonction est évidemment symétrique par rapport à y2, y*-, . . • , ym- Or ces m — i lettres sont racines de l'équation de degré m — i

dont les coefficients sont fonctions rationnelles de x et yK. On

aura donc finalement

u{= y(x, yx),

ce étant rationnelle en x et y,, et, par suite, on peut écrire, en supprimant les indices,

u == cp(>, y).

Nous pouvons donc dire que toute fonction uniforme sur la surface de Riemann et n'ayant sur elle d'autres points singuliers que des pôles est une fonction rationnelle de x et y.

26. Revenons à la surface de Riemann rendue simplement connexe au moyen du contour que nous avons désigné par K. Nous avons dit (§23) que tout circuit tracé sur la surface et ne rencontrant pas K pouvait, abstraction faite de chemins parcourus en sens contraires, être regardé comme une somme de circuits situés respectivement tout entiers sur un même feuillet ou de circuits enveloppant un seul point de ramification comme dans la figure 49- Il sera possible alors d'appliquer les théorèmes généraux de Gauchy, relatifs aux intégrales prises le long d'un contour, aux

circuits tracés sur une surface de Riemann. Quelques mots d'explication sont nécessaires seulement pour les contours enveloppant un point de ramification. Pour voir, par exemple, que l'intégrale prise le long du circuit C de la figure /jo, est nulle, quand F est une fonction uniforme et continue sur la surface à l'intérieur de ce contour, il suffit de reprendre l'égalité déjà écrite plus haut

/ F dx = i I V x' d.i ■',

et l'on est ramené dans le plan de la variable x' au théorème ordinaire de Cauchj.

Le théorème relatif aux résidus garde absolument la même forme; on aura soin seulement, si un point de ramification esl un pôle, d'évaluer comme il a été dit au paragraphe 2i le résidu de ce pôle.

Pareillement, la formule de Green s'appliquera sur le plan multiple comme sur le plan simple. En un mot, toutes les formules fondamentales de la théorie des intégrales curvilignes et de celle des fonctions d'une variable complexe s'appliqueront sur la surface de Riemann comme sur le plan simple de Cauchj, si on les applique à des circuits ne traversant pas le contour K qui rend la surface simplement connexe.

En particulier, nous prendrons souvent, comme circuit, le circuit formé par les deux bords de la coupure K. L'aire limitée par un tel circuit se compose alors de la surface de Riemann tout entière. Dans l'application des théorèmes de Cauchj à cette aire, il faudra avoir soin de considérer comment les fonctions étudiées se comportent au point à l'infini sur chacun des m feuillets. On pourra d'une manière générale détacher de l'aire ces ni points a l'infini en traçant sur chacun des feuillets des circonférences de très grand rayon, et l'on envisagera la portion de la surface de Riemann limitée par K et ces /// circonférences; il n'y aura plus qu'à faire augmenter ensuite les rayons de celles-ci indéfiniment.

27. Appliquons les considérations générales qui précèdenl a la démonstration du théorème suivant, qui est d'une application

constante : Toute fonction uniforme sur la surface de /»'/>-

mann et restant toujours finie se réduit à une constante.

Nous supposons donc que, pour une fonction F n'ayant qu'une seule valeur en chaque point de la surface, tous les points de celle-ci soient des points ordinaires (y compris les points à l'infini). Posons

F = u -i- iv,

et appliquons la formule préliminaire de Green (Chap. I, § 8),

en y faisant

et en l'étendant à l'aire, dont j'ai parlé plus haut, limitée par K et les m circonférences de très grand rayon, dont nous désignerons l'ensemble par G. Nous avons ainsi

Or la première des intégrales du second membre est manifestei ment nulle, puisque les dérivées —, pour les éléments correspondants ds sur l'un et l'autre bord de la coupure K; étant de signes contraires, et u ayant la même valeur, les éléments de l'intégrale se détruisent deux à deux. Quant à la seconde intégrale, elle tendra vers zéro quand les rayons des circonférences augmenteront indéfiniment. On a, en effet, pour z très grand sur un certain feuillet (nous appelons ici z la variable complexe et nous posons z = x -f- iy : aucune confusion n'est à craindre avec les notations des paragraphes précédents)

u -+- IV = A H- — -+- . . . .

11 en résulte que les dérivées premières de u et *>, et par suite -j- > sont, pour z très grand et démodule p, des infiniment petits comparables à — • Or ds contient seulement o en facteur; il en résulte

que la seconde intégrale tendra vers zéro avec -• Par suite,

l'intégrale étant étendue à toute la surface. La fonction a, et, par suite, 'la fonction p, sont des constantes; ce qui démontre le théorème.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES iVuNE VARIABLE. 4^9

28. Je terminerai en démontrant une inégalité fondamentale due à Riemann, qui va jouer un rôle capital dans la théorie des intégrales abéliennes. Si a -f- iv représente une fonction analytique uniforme et continue sur une certaine portion de la surface de Riemann limitée par un circuit T, ne rencontrant toujours pas le contour K, on a, d'après la formule préliminaire de Green, déjà écrite plus haut,

la dérivée -r- étant prise dans le sens de la normale intérieure.

Or, on a, comme nous l'avons déjà vu à diverses reprises (Chap. X, § 6),

du dv

dn ds •

-j- désignant la dérivée de v dans le sens positif sur le contour Y. Nous pouvons donc écrire

l'intégrale curviligne dans le premier membre étant prise dans le sens positif. L'inégalité

a dv

est alors évidente : c'est elle que nous voulions établir. Elle exclut complètement légalité à moins que u-\~iv ne se réduise à une constante.

Nous aurons bientôt à appliquer cette inégalité au contour K, mais il faudra toujours dans ce cas, si l'on veut être complet, considérer d'abord la portion de la surface de Riemann Limitée par K et les rn circonférences G dont nous avons parlé plus haut; on fera augmenter ensuite indéfiniment le rayon de ces dernières.

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES,

I. — De la périodicité des intégrales abéliennes. 1. On désigne sous le nom d' intégrales abéliennes les inté-

grales de la forme

lR(x,y)dx,

R(#, y) étant une fonction rationnels de x et y. Nous avons déjà fait, à ce point de vue élémentaire, une réduction de ces intégrales (t. I, p. 56); c'est de leurs déterminations multiples que nous devons maintenant nous occuper. Nous écrirons l'intégrale sous la forme

(1) f ' R(T,y)dx,

indiquant par les limites inférieure et supérieure (x0, y0) et (#, y) les points de départ et d'arrivée de la courbe d'intégration sur la surface de Riemann.

Nous partagerons ces intégrales en deux catégories différentes. La fonction R(#, y) aura nécessairement des pôles; dans le voisinage d'un tel point a, on développera R suivant les puissances

entières de [x — a) [ou de {x — a)* si le pôle considéré était un

point de ramification] ' L'intégration pourra introduire des termes en log(# — a). Si, pour aucun pôle de R, il n'y a de terme logarithmique, et si, de plus, le point à l'infini dans chacun des feuillets ne donne pareillement dans l'intégration aucun terme logarithmique, nous dirons que l'intégrale est de la première catégorie ;