DES INTÉGRALES ABÉLTENN'ES

elle sera de la seconde catégorie si un des pôles au moins donne un terme logarithmique.

2. Plaçons-nous d'abord, pour l'étude des déterminations multiples de l'intégrale (i), dans l'hypothèse où celle-ci serait de la première catégorie. Nous reprenons sur la surface de Riemann S le contour K étudié au Chapitre précédent, au moyen duquel la surface a été rendue simplement connexe. Considérons sur S un circuit quelconque, ne rencontrant pas K et ne passant pas par un pôle de R(#, y). D'après ce que nous avons vu à la fin du Chapitre précédent, V intégrale prise le long de ce circuit sera n a lie .

Cette remarque faite, la recherche des déterminations multiples de l'intégrale (i) supposée de la première catégorie ne présente aucune difficulté. Le contour R est formé des p systèmes de rétrosections C et D, et de p — i lignes joignant entre elles ces systèmes de rétrosections; nous désignerons par E ces dernières lignes qui, on se le rappelle, sont, comme les C et D, des coupures ou lignes doubles. Un chemin T, tracé arbitrairement sur la surface S et joignant (x0, y0) à (a?, y), pourra rencontrer le contour K en un certain nombre de points. Cherchons la diffé-. rence de la valeur de l'intégrale (i), quand on suit le chemin L, et de sa valeur quand on va de (#0, y0) à (#, y) sans traverser K (cette dernière valeur est entièrement déterminée). Considérons un quelconque des points de rencontre de L avec K, et désignons ce point par a et par b} suivant que nous le regardons comme appartenant à l'un ou l'autre côté de la coupure, le point a étant le point que rencontre d'abord le chemin L. La différence que nous cherchons sera égale à la somme des intégrales prises pour chaque point (a, b) quand on va de b en a sans traverser l\ ; en effet, la seconde de nos deux intégrales peut être considérée comme obtenue en suivant le même chemin que pour la première] sauf que, au lieu d'aller de a en b en franchissant la coupure, on va <!<• a eu b sans traverser K. 11 résulte de cette remarque capitale que nous avons seulement à étudier les valeurs de l'intégrale quand on va d'un point de La coupure K au point correspondant

sur 1 autre côté sans tr.i\ erser cet i *■ coupure qui, nous le répétons, rend la surface simplement connexe. Tout d'abord, si le point

(a, b) est sur une ligne E, la valeur cherchée de l'intégrale sera nulle ; on le voit tout de suite en se reportant à la surface à p trous dans l'espace : on peut aller de b en a en restant sur le contour K, et, dans ce trajet, les éléments correspondants de K sur l'un et l'autre bord de cette coupure sont parcourus en sens inverse, puisqu'il en est ainsi pour le parcours complet sur une quelconque des rétrosections (fig. 5o). Supposons ensuite que le point (a, b) soit sur une ligne C.

U suffit de suivre les flèches sur la figure oo pour voir que l'intégrale prise de b en a sera égale à l'intégrale prise le long de la

seconde partie D de la rétroseetion, dans un sens convenable. Pareillement, si le point (a, b) était sur D, la valeur cherchée serait égale à l'intégrale prise dans un sens convenable le long de C. Nous avons donc à introduire les valeurs de l'intégrale (i) prise le long des lignes G et D. Si l'on a fixé sur chacune des lignes G et D un sens déterminé, nous désignerons par

ci et dt

les valeurs des intégrales, prises respectivement dans ce sens, sur

D/ et G,-,

de telle sorte que di désigne la différence des valeurs de l'intégrale quand on va, sans traverser K, d'un point arbitraire à deux points se correspondant sur l'un et l'autre bord de D/. La différence que nous nous proposions d'obtenir est de la forme

(a) 2 j (ra/Cf-t- rijclt),

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^3

les nii et ni étant des entiers positifs ou négatifs. En résumé, les diverses déterminations de V intégrale ( i) diffèrent entre elles a" une somme de multiples des constantes ci et dt. On donne à ces 2/> constantes le nom de périodes de l'intégrale. On désigne souvent ces périodes sous le nom de périodes cycliques,

3. Nous avons supposé que l'intégrale était de la première catégorie. Les mêmes considérations peuvent être employées, avec quelques modifications seulement, pour l'étude des déterminations multiples des intégrales de la seconde catégorie. Admettons donc que l'intégrale ait un certain nombre de points singuliers logarithmiques, que nous supposerons d'abord n'être pas situés en un point de ramification de la surface de Riemann S. Entourons chacun des points de ramification d'une courbe infiniment petite et joignons chacun de ces contours au contour K par une ligne double /. Nous obtenons ainsi sur S un nouveau contour K', formé de K et des lignes / que nous venons d'adjoindre, y compris les courbes infiniment petites autour de chacun des points singuliers logarithmiques. Nous raisonnerons sur K' comme nous avons raisonné sur K. Quand le chemin L rencontre une ligne /, il s'introduit, dans la différence considérée plus haut, la valeur de l'intégrale prise le long de la petite courbe enveloppant le point singulier logarithmique correspondant. Aux périodes cycliques viennent donc s'ajouter des périodes d'une autre nature provenant des points singuliers logarithmiques. Si Ton désigne par A le résidu correspondant au pôle '!<• R ! / . r) qui donne par l'intégration un point singulier logarithmique, on aura évidemment, pour la différence cherchée de deux déterminations de l'intégrale,

> I m t ci -+- n t d, j — v. - A y i \ ,

les j) étant des entiers positifs ou négatifs. Les périodes »-/\ son! dites des périodes polaires.

L intégration le long de K conduit à une égalité importante. D'après la remarque générale du paragraphe -. cette intégrale est nulle; or l'intégrale le long d<- K est manifestement nulle, puisque Les éléments se détruisent deux à deux. Il reste donc la

relation fondamentale

(3) SA=o.

4. On a supposé que les pôles de R(#, y) auxquels correspondent des logarithmes n'étaient pas des points de ramification. Les raisonnements précédents s'appliquent sans modification à ce cas; rappelons seulement quelle sera la signification du résidu correspondant (Chap. XIII, § 24). On a ici le développement

Tl x — a

D'autre part, un contour infiniment petit autour du point de ramification tournera deux fois autour de a dans le plan simple, et, par suite, le résidu correspondant à ce point de ramification devra être pris égal à 2 L; quand le pôle de R(#, y) sera un point de ramification, on devra prendre, dans l'application de l'égalité (3),