II. — Le théorème d'Abel

o. Abel a donné sur les intégrales de différentielles algébriques une proposition fondamentale, sur laquelle sont revenus un grand nombre de géomètres. Nous allons, pour le moment, nous borner à la faire connaître, sous la première forme que lui a donnée le grand géomètre norvégien, dans son Mémoire célèbre Sur une propriété générale o? une classe très étendue de fonctions transcendantes (*). Sous cette forme, le théorème paraît tout à fait élémentaire, et il n'y a peut-être pas, dans l'histoire de la Science, de proposition aussi importante obtenue à l'aide de considérations aussi simples.

Partons toujours de la relation algébrique

(') Œuvres complètes d'Abel, t. I, p. i45.

DES INTÉGRALES ABELIE.NNES. 465

et soit considérée une famille de courbes algébriques

(5) X(x, y, au a2, ..., ar) = o,

dépendant de r paramètres arbitraires a,, a2, . . . , ar. On suppose que X contienne rationnellement ces paramètres. Les courbes (4) et (5) ont un certain nombre de points communs en nombre fji

variables avec les arbitraires <7. Les #,, j2) •••5 #ij. sont racines d'une certaine équation de degré km

dont les coefficients sont rationnels par rapport aux a, et, si les axes n'occupent aucune position particulière par rapport aux deux courbes, on peut toujours admettre que la valeur correspondante de y est donnée par

y = ^(x, ah au ..., ar),

•| étant rationnelle en x, #,,... , ar.

Ceci posé, prenons une intégrale abélienne quelconque

R(x,y)dx,

et formons la somme

^ r{rn> r») S

~2>l \\(x, y) dx.

(lotte somme est déterminée, à une somme de multiples près des périodes polaires ou cycliques de l'intégrale, périodes indépendantes des a. L'objet du théorème d'Abel est de déterminer la nature de cette somme envisagée comme fonction des paramètres a. En désignant par la lettre 0 une différentielle totale par rapport à paramètres, nous aurons

' 9 = R ( xu j', ) '>, -f- . . . -4- R ( .r[X, y y ) oxp..

Or, en différentiant la relation (6), <>n «aïeule de suite 0./,. ..., o/.,. En substituant dans L'expression <le 8S et remplaçant les^ par leurs valeurs y, on aura |> • coefficient de SûTj nue

tli a iu«. — ir. ;td

fonction rationnelle de ^t, ..., x{l et des a] de plus, elle sera évidemment symétrique par rapport aux #, et, par suite, le coefficient de 8«, sera une fonction rationnelle des a, et il en est de même des autres coefficients. On a, par suite,

8S = Pl(al, .... ar) Bai -+- Pi(«i> ..», #r) oa2 + ... H- P/-(ai, «2, • ••, #»•) 8ar,

les P étant des fonctions rationnelles de a, , a2, . . . , a,.

L'égalité précédente constitue le théorème d'Abel sous sa forme primordiale : elle exprime que S est une fonction àlgébrico-lo garithmiq ue des paramètres a. En effet, l'intégration de la différentielle totale qui figure au second membre conduira nécessairement à une expression de la forme

cp + EA log<ï>,

les A désignant des constantes, cp et les <ï> représentant des fonctions rationnelles des a.

On peut donner des formes plus précises à l'énoncé du théorème d'Abel; nous y reviendrons à la fin de ce Chapitre.

6. Nous considérerons dans un moment, sous le nom ^intégrales de première espèce, les intégrales abéliennes

R(x, y) dx x\> y a

restant finies pour tout point (#, y) de la surface de Riemann. Cherchons ce que devient, pour une telle intégrale, le théorème d'Abel. La fonction algébrico-logarithmique des a qui représente S devra rester finie pour toute valeur finie ou infinie des paramètres a, puisque S reste lui-même toujours fini. Or une fonction de la forme

où cd et les <ï> représentent des fonctions rationnelles de a et les A des constantes, ne peut rester finie pour toute valeur finie ou infinie du paramètre a que si elle se réduit à une constante. Il en résulte que la somme S ne dépend pas des paramètres a.