DES INTÉGRALES ABEL1ENNES

On peut, par suite, pour les intégrales de première espèce, énoncer, sous la forme suivante, le théorème d'Abel : La somme

2^ / R(x,y)dxi

où (xn, yn) désignent les points de /encontre, variables avec les a, des courbes (4) et (5) ne dépend pas de ces paramètres. Elle a une valeur constante, abstraction faite, bien entendu, de sommes de multiples de certaines périodes fixes qu'on peut toujours introduire en faisant varier le chemin qui va de (x0, y0) à (x,n yn). Ce cas particulier du théorème d'Abel joue dans la théorie des courbes' algébriques un rôle fondamental. On peut encore le mettre sous la forme suivante ;

R(*t,ys)<toiv+....-t- R(.r(j., y^) dx^ = o,

les d désignant des différentielles totales par rapport aux paramètres a.

III. — Des intégrales de première espèce. Nombre de ces intégrales

linéairement indépendantes.

7. Les intégrales que nous avons désignées sous le nom d7/itégrales de la première catégorie peuvent se diviser en deux espèces. Les intégrales de première espèce sont celles qui restent finies en tout point de la surface de Riemann. Les intégrales de seconde espèce deviennent infinies au moins en un point; elles n'ont d'ailleurs pas de points singuliers logarithmiques, et les points où elles deviennent infinies sur la surface de Riemann sont des pôles.

Nous niions nous occuper dans cette section des intégrales de première espèce. Cherchons tout d'abord la forme nécessaire dune telle intégrale dont l'existence n'es! pas évidente a priori. D'après ce que, nous avons «lit (t. I, p. 68), toute intégrale ;»!><•tienne peut se mettre sous la forme d'une somme d'intégrales de la forme

f l'(g, y)dx fQ(x,y)dx

P et Q étant des polynômes de degré quelconque en x et y. La première intégrale pourrait devenir infinie pour x = a; aucune autre intégrale, dans la somme qui forme l'intégrale étudiée, ne pouvant devenir infinie pour x = a, il n'est pas possible qu'il y ait de réduction, et, par suite, toute intégrale du type

P(x, y) dx

(x-ayJÇ

se présentant dans la somme, doit rester finie pour x = a. Nous avons donc à chercher à quelles conditions l'intégrale précédente restera finie pour x = a. Enonçons tout de suite le résultat : il faut que

PQ,r)

puisse se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y, en supposant, bien entendu, x et y liés par la relation f{x, y) = o.

Pour le démontrer, nous avons à distinguer différents cas suivant que la droite x=a rencontre la courbe en m points distincts, lui est tangente ou passe par un point multiple. Dans le premier cas, il est clair que le polynôme P(#, y) devra s'annuler pour

(fl,/i), («,^2)^ •••> («./»))

en désignant par y,, y2, ...,ym les ordonnées des m points de rencontre de x = a avec la courbe /(#, y)-=o,\\ en résulte que

peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y. On peut s'en convaincre en écrivant

PO. y) = P(a, y) + (x — a) <p(a?, y), <p étant un polynôme; or P(a, y) sera divisible par

et comme, d'autre part, on a

/O, y) = (j — ji) • • • iy—ym) + {x — a) <?x{x, y) = o,

DES INTÉGRALES ABÉLIE.NNES. 4^9

le résultat énoncé devient évident. On sera donc ramené à une forme analogue, où a est remplacé par a — i, et en continuant ainsi de proche en proche, on sera ramené au cas où le dénominateur a disparu.

Soit maintenant la droite x = a tangente à la courbe. Nous avons alors les ordonnées

y ii y ii • • • > ym—u

dont la première est supposée correspondre au point de contact. On aura d'abord nécessairement

P(«> y\) = pO, y*) =♦..= P(«,.Tm-i) = °>

mais je dis de plus que yt doit être racine double de P(a, y) ; on voit en effet tout de suite, dans l'hypothèse contraire, que l'intégrale devient infinie pour x = aly=yi. Le polynôme P(#, y) est donc divisible par

(y —yiY(y-yi.) • • • (y—ym-i ),

et comme on peut écrire

/(*, y) = (y—yiY (y —72) • • • (y —ym-\ )■+-(# — «) <K#, y) = o,

'l étant un polynôme, il en résulte encore que

P(ar,r) .27 — a

pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y, et Ton peut achever le raisonnement comme plus haut.

Il ne nous reste plus qu'à supposer que la droite x = a passe par un point multiple d'ordre i. (le point est par hypothèse à tangentes distinctes, et l'on peut supposer qu'aucune d'elles n'est parallèle à Or.

Désignons par )',, y2, ..., ym i les ordonnées des points simples de rencontre de la droite X=xQ avec la courbe, et soii (a, h) le point multiple. On montrera encore que P(«, y) s'annule pour h . y{ , y2, . . . , ym ,-. De plus, 1> doit être racine multique d'ordre i pour P (a, y) ; sinon L'intégrale deviendrait in finir ;hj point multiple, quand (x,y) se rapproche de ce point, sur une au moins des i branches qui s'y croisent. Www le voir bien

nettement, écrivons

P(x,y) = P(a, jk) h- (a; — «)/(>, jk).

Si le développement de P (a, y) suivant les puissances de (y — b) ne commence pas un terme de degré au moins égal à i, il y aura certainement, dans un au moins des développements de P (x , y) relatifs aux diverses branches, un terme de degré moindre que /en x — a. L'intégrale deviendrait certainement alors infinie au point multiple pour une au moins des i branches. La démonstration s'achève alors tout de suite en remarquant que l'équation de la courbe peut s'écrire

(7— b)Hy— Ji)..-(JK— ym-i) + (x — a)<\>(x,y) = o;

d'où il résulte que

est un polynôme en x et y , et la réduction s'effectue de proche en proche.

En résumé, les intégrales de première espèce sont nécessairement de la forme

fQ(x, y)dx

Q (x, y) étant un polynôme.

8. Cherchons donc à quelles conditions ces dernières intégrales resteront finies sur toute la surface de Riemann. Elles pourraient devenir infinies pour les points correspondant à

fi = o-

Ces points sont de deux sortes. Il y a d'abord les points de ramification : mais on voit tout de suite que l'intégrale restera finie en un tel point (a, b). On a en effet, en ce moment, d'après nos hypothèses qu'il est inutile de rappeler, le développement

/;=A(*a)*-K.., A étant différent de zéro ; l'intégrale reste donc finie.

DES INTÉGRALES ABÉMENXES. \~ l

Il y a en second lieu les points multiples. On a ici pour chaque branche un développement de la forme

/;=a(a?--a)'-i + ... (a yé o).

Donc Q(#,JK) devra contenir en facteur (x — o)'-1 quand on substituera à y les i développements relatifs aux i brandies. Par suite, Q(#, y), développée suivant les puissances de x — a et y — 6, devra commencer par un terme de degré i — i; en d'autres termes, la courbe

aura le point (a, b) comme un point multiple d'ordre i — i. Celle condition est nécessaire et suffisante pour que l'intégrale reste finie en (a, l> ).

Il faut maintenant considérer les points à l'infini. Nous pouvons, en nous servant de l'équation f = o, mettre Q(x,y) sous la forme

Q(*3 X) = ol(x)y>»-i+ç2(x )}"»-* + . . .-4- <?,„(>),

les o étant des polynômes en x de degré quelconque. Pour x très ind, nous avons d'ailleurs les développements

y = kiX -+- oii -V — -h. . . ( i = i , 2, . . . , m),

Les /.", ('tant tous différents. Il en résulte que, pour toute branche de la courbe à l'infini, le produit

ne pourra pas rester fini quand x grandira indéfiniment, si ©< ei »j nesoiii pas identique menl nuls. \ La vérité, ceci pourrai! arriver pour certaines branches, mais mm pour toutes, sans que o< el ^2 fussent nuU Identiquement, puisqu'en posant y=zkx les coefficients des diverses puissances <!<• x dans le développement de I n) >ont des polynômes de degré m i en /.. Or on exprime la condition me ci suffisante pour que l'intégrale reste Unie pour x = », en écrivanl que l'expression ' ~ ) reste elle-même finie. On doit donc avoir

les $ étant des polynômes. En raisonnant de la même manière, on voit tout de suite que cj0 doit se réduire à une constante, ©, à un polynôme du premier degré, et ainsi de suite. Par conséquent, Q(x, y) est un polynôme de degré m — 3 en x et y.

En résumé, la condition nécessaire est suffisante pour que l'intégrale

Q(x,y)dx

fy

soit de première espèce peut être ainsi formulée : Ç)(x,y) est un polynôme de degré m — 3 en x et y et la courbe

a pour points multiples d'ordre i — i les points multiples d'ordre i de la courbe f.

9. Un premier point très important est relatif au nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Que doit-on entendre d'abord par intégrales linéairement indépendantes? Soient

{x'y) Qt(#, y) dx r{x,Y) Q2o, y) dx r{x,y) Q,.<>, y) dx

C v ,J> Qt(#, y) dx rv"> " q2o, y) dx r" ,J)

fy

r intégrales de première espèce. Nous dirons qu'elles sont linéairement indépendantes si l'on n'a pas entre elles de relations

Ai /•"f,Q.(f./)^+...H.A, f™ *,(*,?) a* +Ar+| = 0]

lY'TQ.(f.r)^+...H.Ai .p"

les A étant des constantes. Ceci revient à dire que l'on n'aura pas d'identité de la forme

(8) A! Q,(>, y) +/. .h- A;. Qr(x, y) = o

(les A étant constants), pour tout point [x , y) de la courbe y. D'ailleurs si l'on a des polynômes Q pour lesquels une identité de la forme précédente ne puisse avoir lieu quand x et y sont regardées comme des variables indépendantes, il ne pourra exister entre eux une telle identité quand le point (x,y) sera quelconque sur la courbe/; c'est une conséquence nécessaire de l'irréducti-

DES INTÉGRALES ABELIENNES. A~'$

bilité de cette dernière et de ce que le degré des Q est inférieur à m. On peut donc dire que les intégrales sont linéairement indépendantes si les polynômes Q à deux variables indépendantes x et y sont linéairement indépendants, c'est-à-dire s'il n'existe pas entre eux de relations de la forme (8) où les A soient des constantes.

Cette définition posée, remarquons que : avoir un point multiple d'ordre i — i en un point donné revient pour une courbe à

conditions. Or le polynôme général de degré m — 3 renferme

— coefficients, et nous avons entre eux un nombre

d'équations de conditions égal à

y.i désignant comme précédemment, le nombre des points multiples d'ordre i. Si l'on suppose que ces conditions ne se réduisent pas à un nombre moindre, on aura

c'est-à-dire p intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Pour énoncer la conclusion précédente, nous avons dû supposer qu'il ii v avait pas de réduction dans le nombre des coefficients. En toute rigueur, nous pouvons seulement dire pour Le moment que le nombre des intégrales Linéairement indépendantes est an moins égal à p,

10. Le résultai précédemment énoncé es! cependanl exact sans restriction. Il est nécessaire de le démontrer en toute rigueur : c'est ce que nous allons luire en nous servant du théorème «I \bel (' ). Supposons qu'il \ ail plus «le // intégrales de

(*) E. Picard, Sur le nombre <h^ intégrales abéliennes dé première espèce < Bulletin ,ies Science* mathématiques , i8go

première espèce linéairement indépendantes. Je prends p points arbitraires a,, a2, ..., ap sur la courbe/; par ces points passe au moins une courbe Q, puisque, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, la courbe générale Q renferme au moins p -f- 1 coefficients arbitraires. Or toute courbe Q rencontre, en dehors des points multiples, la courbe / en

m(m — 3) — 2a/î(î — i) ou ip — -i points.

La courbe Q passant par #,, a2, . . . , ap rencontre donc, en dehors des points multiples, /en p — 2 points, que nous désignerons par bi, 62, . . . , bp-2> Par ces derniers points passe un faisceau F de courbes Q comprenant en particulier la courbe d'abord considérée. Appliquons le théorème d'Abel aux points de rencontre variables du faisceau F avec la courbe /. Nous aurons, en désignant ces points par

(xuyi), (x2, y,):

et prenant/? polynômes Q,, Q2, dants,

, Qp linéairement indépen-

Qiia-p, rf)) dxp +" ■ ji

égalités qui expriment le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce. Nous tirons de là la relation

Qi<>i,.ri) Qi 02,72) ••• Q\{xpi-yp)

QaC^ij^i) Q2(^2,JKa) ••• Q.2(xp,yP)

QpC^ri) Q/»(a?»»r»)

Qp(xpi y?)

Cette relation doit être identiquement vérifiée, c'est-à-dire quels que soient les points (#,, y(), (x2, y2), ■ ••> {xpi J>) sur ^a courbe, puisque, pour une certaine courbe du faisceau F, ces points coïncident avec les points arbitrairement choisis an «2, . • -, a p. Mais l'identité précédente exprime que les polynômes Qn Q2, . . ., Q^ ne sont pas linéairement indépendants ; c'est ce que l'on voit en développant le déterminant par rapport à la première colonne. A la vérité, ceci suppose que tous les mineurs du pre-

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mier ordre qui formeront les coefficients de ce développement ne soient pas nuls ; mais, s'il en était ainsi, on serait ramené au cas de p — i polynômes Q sur lesquels on raisonnerait de la mémo manière et finalement on arrivera à une relation homogène et linéaire entre certains polynômes Q où tous les coefficients ne seront pas nuls, puisque, à la fin, on aura comme mineurs les polynômes Q eux-mêmes. Ainsi nous arrivons à la conclusion que les polynômes Q ne sont pas linéairement indépendants : cette contradiction démontre le théorème. Nous pouvons donc affirmer qu'il y a p intégrales de première espèce linéairement indépendantes ( ' ).