Nous désignerons dans la suite les courbes

QO?jk) = o

sous le nom de courbes adjointes d'ordre m — 3 (2). D'une manière plus générale,. une courbe sera dite une courbe adjointe kf si elle a pour point multiple d'ordre i — i tout point multiple d'ordre i de la courbe y*. Outre les adjointes d'ordre m — • >, nous aurons à considérer dans la suite les adjointes d'ordre m — 2. Un polynôme adjoint sera le premier membre de l'équation dune courbe adjointe.

Faisons La remarque importante qu' il n'y a pas sur la courbe f, en dehors des points multiples , de points communs à toutes les adjointes d'ordre m — 3 (3). .remploierai encore à cet effet le théorème d' \!>el.

(') On peu! établir ce théorème fondamental en restant au point de vue algé brique; c'esl ce que l'ont MM. Brill et Nôther dans leur mémorabfe Mémoire Sur les fonction* algébriques ( Math. \nn., t. VII ) ; on trouvera an exposé des traraux de MM Brill et Nôther concernant la Géométrie sur une courbe algébrique dans le Chapitre II «In Tome II de la Théorie des fonctions algébriques de deux variables de MM. Picard et Simart. Nous donnerons encore au paragraphe 12 une autre démonstration de ce même théorème.

(2) Nous ne nous préoccupons nullement ici d'une question d'ordre en quelque

pratique, je veux dire la formation effective, pour une équation donnée

f = <,. de ses adjointes el la détermination dam ces conditions du ^enre de la

courbe. (>n pourra consulter sur ce sujel un intéressant Méi re de M. L. Raffj

Math Annalen^ 1. Willi et un travail de M. Nôther.

MM. Brill et Nôther démontrent (/oc. cit.) ce théorème en m servant du tbéoi ■ me de Riemann - Roch.

Prenons, sur la courbe /, p — i points arbitraires a,, a2, ..., a/>,. Par ces points, on peut faire passer au moins une courbe Q; celle-ci, en dehors des points multiples et de ces p — i points, rencontre encore la courbe en p — i autres points parmi lesquels doivent se trouver les \ points (X^>o) que, par hypothèse, contiennent toutes les adjointes. Il reste donc p — i — A points par lesquels nous pouvons faire passer un réseau d'adjointes. Aux p — i points de rencontre variables (£, , r\{ ) . . . (£^-1 , i\P-\ ) de ce faisceau avec la courbe, appliquons le théorème d'Abel pour p — 1 intégrales distinctes de première espèce. On en déduira immédiatement

Qi (Ci, rii) ••• Qi(&>-i,.*lP-i)

Q2(?i, tqi) ... QjvÇp-i, ^ip-i)

Q/j-i(£i, *)i) ... Qp-iiïp-U rip-i)

et l'on aura là une identité puisque les p — 1 points (£, r\) coïncident dans une position particulière avec les p — 1 points a pris arbitrairement. Mais ceci est impossible, comme nous l'avons déjà dit, si les polynômes Q,, Q2, ..., Q/?l sont linéairement indépendants.

IV. — Théorèmes fondamentaux sur les intégrales de première espèce. Intégrales normales.

12. Revenons aux périodes des intégrales de première espèce. Les périodes d'une telle intégrale

r{r'y)Qk(x,y)d.x

J(-r0,yu) Jy

peuvent être désignées par

4, dkh (A = i, 2, ...,/?),

en représentant par c\ et d\ les valeurs de l'intégrale prise respectivement le long des coupures D^ et C^.

Nous avons dit que c\ était la période correspondant à G^ et dh la période correspondant à D^. Les sens suivant lesquels sont

DES INTÉGRALES ABELIENNES. 477

pris ckh et dkh sont tout à fait arbitraires. Faisons donc seulement une convention pour fixer les idées. On forme le contour K dont nous avons déjà tant de fois parlé ; ce contour se compose, outre les rétrosections, de p — i coupures joignant deux à deux, à la manière d'une chaîne, les coupures D.

Considérons une des extrémités de cette chaîne. Je fixe un sens sur Dj, marquant la flèche du côté de la coupure sur lequel ne s'insère pas la coupure auxiliaire qui joindra D, à D2. On suit alors, dans le sens indiqué, le côté considéré de D, ; on ren-

TTV

contre C< et il s'ensuit un sens pour C|. Nous continuons maintenant le contour K, et les sens dans lesquels nous parcourons respectivement D2 et C2, à l'arrivée sur la seconde rétrosection, sont ceux que nous fixons sur celle-ci pour évaluer les intégrales c\ et d\ et ainsi de suite.

Ces définitions posées, nous allons établir une inégalité fondamentale d'où se déduiront les conséquences les plus importantes pour le^ périodes des intégrales de première espèce. Considérons d une manière générale une intégrale de première espèce

rQ(x,y)dx

J J y aui périodes c/, et <7/,. •!«' mets l'intégrale sous La forme

et je pose

rh = c'h -+■ ic"h. dh — d'h-\- i<I ,,.

Imi appliquant !<■ théorème démontré à l;i fin du Chapitre pré-

cèdent (§ 27), nous sommes assuré que l'intégrale

XdY,

étendue au contour K, est différente de zéro. Elle est positive si le sens choisi sur le contour K correspond au sens positif sur les feuillets ; c'est ce que nous pouvons supposer. A la vérité, comme nous l'avons dit, une petite discussion est nécessaire, en appliquant ce théorème et les théorèmes analogues établis (loc. cit.), pour les points à l'infini et pour les points de ramification. Ici on se rend compte tout de suite que l'intégrale précédente pour un circuit infiniment grand sur un feuillet quelconque est nulle,

dY puisque X est fini à l'infini et que -y- est infiniment petit comme

— ? tandis que ds contient seulement p en facteur (p étant le rayon

du cercle d'élément ds grandissant indéfiniment). Quant aux

dX points de ramification, on voit immédiatement que -7- est de

l'ordre — — , tandis que ds est de l'ordre de /*, en désignant par r

la distance du point variable au point de ramification, distance qu'on fait tendre vers zéro.

Ecrivons donc

XdY>o.

Nous allons évaluer cette intégrale. Les fonctions réelles X et Y admettent respectivement les périodes cto d'h c"h, d"h. Nous avons dit que les périodes correspondant aux coupures auxiliaires joignant les rétrosections étaient nulles (§ 2) ; les intégrales relatives à ces coupures sont donc nulles, leurs éléments se détruisant deux à deux. Nous pouvons, par conséquent, faire abstraction de ces coupures, et nous n'avons qu'à évaluer l'intégrale précédente sur chacune des rétrosections. Prenons, par exemple, la rétrosection (D,, C,); soient m et m' deux éléments se correspondant des deux côtés de la coupure D,, l'élément m étant sur le côté de la coupure auquel correspond la flèche. Nous aurons pour éléments

de l'intégrale :

en m X d\

en m' -(X + ^,)^Y

DES INTÉGRALES AKKLIEXXES.

pour le second élément, X est en effet devenu X -j- d\ et le signe a changé^ les éléments m et m' étant parcourus en sens inverse. Nous aurons donc pour la somme

— d\ dX.

et il faut faire la somme de cette expression pour les éléments m , ce qui donne immédiatement

Prenons de même deux éléments p et p' ; on aura pour éléments de l'intégrale :

en p X dX

en//.... — (X — c\) dX

dont la somme donne c\ d\ qui, intégrée pour les éléments p, conduit de suite à

r' d" cl a\-

La première rétrosection donne donc, comme valeur de l'intégrale cherchée,

Nous avons par suite V inégalité fondamentale

(io) ^d(crhd';l-c"hd'/l)>o,

et, je le répète, cette inégalité exclut l'égalité.

Je tirerai de suite de cette inégalité une nouvelle démonstration du théorème démontré dans la section précédente et relatif au nombre des intégrales linéairement indépendantes. Ce nombre ne peut être supérieur à />. car, s'il en était ainsi, on pourrait former une intégrale de première espèce ne se réduisant pas à une constante, et pour laquelle les périodes relatives aux coupures I) se réduiraient à zéro ; ce qui est Incompatible avec L'inégalité pr< dente.

13. L intégrale générale <le première espèce est de la forme (n V,\, tB*)U,

les A et B désignant des constantes réelles quelconques et les I représentant des intégrales linéairement indépendantes. Désignons cette intégrale par X -J- * Y \ les 2 p périodes de X seront

(kkdt-Bkd»nk)

Je dis qu'on peut choisir les 2 p constantes A* et B* de manière que ces 1 p périodes prennent telles valeurs que l'on voudra. Il suffit pour cela de faire voir que le déterminant des coefficients A# et B* dans ces 2 p formes linéaires ne peut être nul. Pour le montrer, remarquons simplement que, si ce déterminant était nul, on pourrait choisir les A et B, non tous nuls, de manière à annuler toutes les périodes de X. On aurait alors une intégrale (11) pour laquelle les parties réelles de toutes les périodes seraient nulles. Or cette circonstance ne peut se présenter pour une intégrale de première espèce ne se réduisant pas à une constante, comme le montre l'inégalité (10) qui ne peut être vérifiée quand toutes les lettres pourvues d'un seul accent sont nulles. Enonçons donc ce théorème :

On peut former une intégrale de première espèce pour laquelle les parties réelles des ip périodes ont des valeurs arbitrairement données.

Une conséquence immédiate est que les ip périodes d'une intégrale arbitraire de première espèce sont distinctes. On se rappelle la définition des périodes distinctes (p. 23q de ce Volume). Il est impossible ici qu'il existe entre les périodes d'une intégrale arbitraire de première espèce une relation homogène et linéaire à coefficients entiers, puisque les parties réelles des périodes peuvent être choisies arbitrairement.

Gomme nous avons eu déjà l'occasion de le remarquer (p. 242) le nombre des périodes, pour une intégrale déterminée de première espèce, peut être inférieur à 2/?, mais nous ferons la remarque que le nombre des périodes distinctes d'une -intégrale de première espèce ne peut être inférieur à deux.

DES INTEGRALES ABELIENNES.

Supposons en effet qu'une intégrale I de première espèce n'ait qu'une seule période to. Considérons alors l'expression (')

Cette expression n'aura qu'une seule valeur en chaque point (x * y) de la surface de Riemann. D'autre part, elle reste toujours finie; elle devrait donc se réduire à une constante (Chap. XIII, § 27), ce qui est absurde.

14. Indiquons maintenant ce qu'on entend par intégrale normale de première espèce. Cherchons à déterminer p intégrales de première espèce J,, J2. ...,J^ pour lesquelles les périodes correspondant aux coupures D,, D2, . . . , Dp forment le tableau