D, D2 D3 ... IV
Ji
On partira pour cela des p intégrales linéairement indépendantes [f, I2, ..., 1^ et l'on déterminera les constantes a,, a2, . ..,a/; de manière que les périodes de
correspondant aux coupures D aient successivement les valeurs correspondant à ce tableau. On aura ainsi à résoudre successivement p systèmes de p équations du premier degré. Il est essentiel de remarquer que le déterminant commun de ces systèmes .n 'est pas nul, car, s'il en était ainsi, on pourrait choisir les a (non tous nuls i de manière que les périodes de (ta) correspondant aux coupures I) soient tontes nulles, ce qui est en contradiction avec l'inégalité fondamentale (io) où toutes les lettres d ne peuvent s'annuler simultanément .
Il est évident d'ailleurs que les Intégrales .1 ainsi déterminées
(') On reconnaîtra la sons une forme pins condensée II généralisation <ln rai
«onnrment fait à la |>;ige •]•.
rirAi»r>. - n. SI
4N-2 CHAIITRE XIV.
sont linéairement indépendantes, car aucune combinaison linéaire des J ne peut se réduire à une constante sans que les coefficients soient nuls, comme on le voit tout de suite en égalant à zéro les périodes relatives aux coupures D d'une telle combinaison.
On appelle les intégrales J les intégrales normales de première espèce. Nous désignerons par le tableau suivant le tableau des périodes des intégrales normales :
Dt
. Dp
. Gp
Ti i
Xl2 -
~~ïï '
XP1>
Dans chaque ligne horizontale se trouvent les périodes de l'intégrale normale correspondant à cette ligne.
15. Il existe entre les périodes de deux intégrales quelconques de première espèce une relation remarquable. Soient I et i deux telles intégrales, dont nous désignons les périodes respectivement
par
ci, et dh )
c/t et Y/* et
dh
Considérons l'intégrale
I di.
On peut lui appliquer le théorème de Cauchy relativement au contour K; elle sera nulle. La seule discussion à faire, pour s'en convaincre, est relative aux points à l'infini sur les feuillets et aux points de ramification; elle se fait comme pour l'intégrale étudiée au paragraphe précédent. Nous avons donc
\di
Le calcul de cette intégrale est entièrement analogue à celui de
XdY;
les périodes de I et de i remplacent seulement respectivement
DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^3
celles de X et de Y. Nous aurons donc
7, {c/^k— YPd/t) — o.
Il résulte de cette égalité que nous avons entre les périodes de p intégrales de première espèce
relations, en l'appliquant de toutes les manières possibles à deux de ces intégrales. Ces relations prennent une forme particulièrement simple pour les intégrales normales ,). Ainsi prenons J, et J2 : on a de suite
D'une manière générale, il vient
Ces égalités sont fondamentales.
16. Nous terminerons cette étude des intégrales de première espèce, en indiquant une nouvelle égalité, conséquence d'ailleurs de l'inégalité fondamentale et qui joue dans la théorie des fonctions abéliennes un rôle capital. Considérons l'intégrale
mlJ)+m2J!1 + ...+ ntpip,
où les m sont des constantes réelles quelconques, et appliquons à ses périodes l'inégalité (9). En posant
'Ah — "Ah ■+■ i*kht
on trouve, après quelques réductions très simples,
ïw//m/lT^/j> 0 (A. k — 1, 2, p).
On peut donc énoncer que la forme quadratique en mt, m2, . . . , mp
est définie et positive.
