H = /EG — F

i/E d/> H — — dq

C?W H- « dv — [JL

du .dv r—

dï + là-p = *^'

du .dv

dq dq ^

F + tH

d'où l'on conclut, en éliminant jjl,

(') E. Belthami, Délie variabili complesse sopra una superficie qualunque (Annali di Mathematica, 2e série, t. I.

ce qui revient à

du du dv

' dq dp dp

ôq dp dp

relations que nous mettrons sous la forme

„ du .„ du

dv dp Oq

, dP ' i/ËG — F* (S') v

dv dp dq

dcJ ' v^EG — F*

Tel est le système (S') qu'on peut regarder comme une généralisation du système (S). La combinaison a -+- iv peut être appelée une fonction complexe du point (p, r/) sut' la surface S.

La fonction u satisfait évidemment à l'équation

ôq ôp ) + ± ( fo ^g = 0

v EG — F2 / 'V \ v/KG — F2 /

Cette équation est sur la surface S V analogue de V équation <fe hap lace sur le plan. On reconnaît d'ailleurs immédiatement que la fonction c satisfait à la même équation.

Il existe une dépendance très simple entre deux fonctions complexes u 4- iv et u1 4- *V sur une surface 2. Des relations

du -H / c/c = 7 i/l^ ^P + - (l'l L

OB conclut

'/// ' -h i dv' = — ( du -+- i dv ),

c'est-à-dire que a' | iv' est une fonction analytique de u m Vi.

(*) On cousultera avec grand intérêt sur rie sujet te volume <!<• M. Klein intitulé: Uebet Riemann's Théorie der algebraitchen Functionen und ihrer

hit

IO CIIAIMTRK I.

II. — Formule fondamentale. Les fonctions harmoniques sont analytiques. Détermination unique des fonctions harmoniques par leurs valeurs sur un contour fermé.

8. La formule de Green établie dans le cas de l'espace (t. 1. p. 167) a son analogue dans le plan. Soient U et V deux fonctions continues de x et y ainsi que leurs dérivées du premier et du second ordre à l'intérieur d'un contour G; formons l'intégrale double, étendue à l'aire que limite cette courbe :

Ç f r^£ ^Y __ ^u f?Y 1 ~J J Vdx dx °y â7 J x y'

En se servant de l'identité

^ °1 - A (u ôl\ u —

dx dx dx \ dx j dx2

on a de suite

et pareillement

et, par conséquent,

ou

la dérivée -5- étant prise dans le sens de la normale intérieure à

la courbe.

Cette formule nous sera très utile. La formule de Green s'obtiendra en permutant U et V dans le second membre, ce qui ne change pas le premier. On en conclut

i(u£-vf)*+//(UAV-VAU'^^ =

En particulier, si l'on fait U = i , on aura

/ -j- ci s -+- I I AV dx dy = o.

, ', rt/«- */ %j

\ ne remarque est ici nécessaire, relativement à la dérivée -y-

prise dans le sens de la normale intérieure. Et, d'abord, comment définir d'une manière générale la normale intérieure? Nous avons défini (t. 1, p. 97) le sens positif sur un contour C, en nous servant d'une petite circonférence (y) décrite dans le sens de Ox vers Oy par rapport à son centre P. Cette circonférence 1 transportée dans le voisinage et à V intérieur du contour C, de manière à être tangente en un point A du contour, fixe sur celui-ci la direction de la normale intérieure, qui est celle qui va du point A au point P.

Cette direction fait un angle -f- - avec la direction positive de

la tangente, mais elle est absolument déterminée, quelle que soit la disposition des axes Ox, Oy. Il en est de même des cosinus des angles que la normale intérieure fait avec les axes de coordonnées,

de telle sort»' que la dérivée

<i ' n ()./■ dy

\r.rt ) ■+- —cos\y.n).

prise dans le sens de la normale intérieure, a bien, comme on devait s\ attendre, une signification déterminée indépendante du sens qui se trouvera être le sens positif sur le contour.

Ceci posé, revenons au* intégrales de la forme / U-t-ds. Dans

. '( du

une pareille Intégrale, on considère ds comme un élément essentiellement positif; elle est complètement déterminée par ce fait rfV

que — est prise dans le sens de la normale intérieure, et. dès

lors, il n \ a pas lieu de parler du sens dans lequel on effectue I intégration sur le contour.

9 Indiqu ms, comme applications de la relation (3), quelques problèmes de l*h \ ^itjn*- mathématique où intervient l'équation

Un de ces problèmes est relatif à la distribution de la température dans une plaque isotrope en équilibre calorifique. Nous n'avons pas à rappeler ici comment Fourier, dans sa Théorie mathématique de la chaleur, a été conduit à montrer que la quantité de chaleur qui, dans le temps dt, passe à travers un arc ds du plan est représentée par

K —r- as dt, an

-j- désignant la dérivée de la température V dans le sens de

la normale à l'arc ds et K un coefficient constant. L'équilibre calorifique étant supposé établi, la température V ne dépendra que de x et y. Considérons une courbe fermée G; la quantité de chaleur passant, dans l'unité de temps, à travers cette courbe C, sera représentée par l'intégrale

ds.

c dn

Or, cette quantité de chaleur devra être nulle; dans le cas contraire, en effet, la chaleur s'accumulerait à l'intérieur de C et la température varierait avec le temps. On doit donc avoir, pour

toute courbe fermée,

rdV . -j— ds = o,

J dn

ce qui entraîne, d'après la formule (3),

AV dx dy = o,

pour une aire quelconque. On doit donc avoir identiquement

AV = o.

En transportant, comme l'a fait Ohm, de la chaleur à l'électricité les principes de Fourier, on aura la même équation pour le potentiel électrique V dans une plaque conductrice traversée par des courants permanents.

Un troisième exemple nous sera fourni par le mouvement permanent sur un plan d'un fluide incompressible et homogène. Soient u(x,y) et v(x,y) les projections sur Ox et Oy delà vitesse de la molécule fluide coïncidant, à un certain moment,

FONCTIONS IMNB VARIABLE COMPLEXE. l3

avec le point (x,y). Considérons un élément, que nous pouvons supposer rectiligne ds, et qui passe par (a?, y); nous allons évaluer la niasse du fluide passant pendant le temps dt par cet élément. Cette masse sera sensiblement celle d'un parallélogramme de base ds, et dont l'autre côté a pour projections sur les axes u dt et v dt. Si cos a et cos j3 désignent les cosinus directeurs de la normale à ds, la masse sera alors

p ( u cos a+p cos [j ) dt ds,

o désignant la densité superficielle du fluide.

Or, la masse contenue à l'intérieur d'une courbe fermée C ne peut changer pendant la durée du mouvement, puisque le fluide est incompressible et homogène; on aura donc

J' ( u cos a -+- v cosp) ds — o.

Or, supposons que u et v soient les dérivées partielles d'une fonction ©(#, y), ce qui correspond au cas où il n'y a pas de tourbillons dans le fluide. On aura alors

IÀ

-~ cos an — p cos 3 ) ds = o v âx Oy

ou bien

ds = o.

du

I >n en conclul que la fonction es, appelée potentiel des vi- 1 i, satisfait à l 'équation

Les considérations précédentes, relatives au mouvement d'un fluide sur un plan, peuvent être étendues au mouvement permanent d'un fluide sur une surface; c'est ce qu'a fail ,M. Klein dans l'Ouvrage (jiK' nous avons déjà cité, <ii auquel nous renverrons (p. 9). < )n retombe ainsi sur l<-> équations de M. Beltrami indiquées dans li Secl ion précédente.

(') Pour tout < <• <|ui concerne les applications <!<■ Il théorie de l'équation «le Laplace .1 la Mécanique des fluides, on étudiera surtout l'admirable Traité de KihIiIk.ii ; Vorlesuneen ûber mathematisché Phygik.

l4 CHAPITRE I.

10. Nous allons maintenant, relativement à l'équalion à deux termes

développer une théorie toute semblable à celle que nous avons étudiée (t. I, p. 169) pour l'équation à trois termes. La seule dilïerence va consister en ce que nous nous sommes servi précédemment de la solution particulière U == -« tandis que, maintenant, c'est la fonction de ;*, représentée par logr, qui sera prise comme solution particulière [ r désignant toujours la distance d'un point variable (a?, y) à un point (a, b)~\.

Si U et V sont deux fonctions harmoniques continues* ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres dans un contour C, on a, d'après la formule de Green,

U -7 V —j— ) as = o.

an an

Nous supposons la dérivée prise dans le sens de la normale intérieure à l'aire.

Une remarque est indispensable. Pour pouvoir appliquer en toute sécurité cette formule, on devra le plus souvent supposer que, non seulement les fonctions U et V sont continues dans l'aire limitée par C et sur C lui-même, mais qu'il en est de même des dérivées partielles du premier ordre de U et de V; dans ces

,. . . dV dV 1 . j,

conditions on est assure que -7- et -r- ont un sens bien deter-

1 an an

miné, et l'application de la formule' ne prête à aucune difficulté. Ceci posé, V étant une fonction jouissant des propriétés indiquées, prenons

U = log,-,

où