V. — Des intégrales de deuxième espèce

17. Nous avons désigné d'une manière générale sous le nom à1 intégrales de deuxième espèce les intégrales n'ayant sur la surface de Riemann d'autres points singuliers que des pôles. Nous allons former a priori une intégrale de deuxième espèce ayant un seul pôle. Soit (Ç, r\) un point arbitraire de la surface de Riemann et désignons par

(i3) ax -f- by -f- c — o

l'équation de la tangente à la courbe f(x, y) = o au point (ç, t\). J'envisage l'intégrale

f{x>y) P(x,y)dx

ro,y0)

C)fy

où P(#, y) représente un polynôme adjoint de degré m — 2 s'annulant pour les m — 2 points simples de rencontre, en dehors du point de contact, de la droite (i3) avec la courbe /. Cherchons d'abord le nombre des constantes arbitraires figurant dans P(#, y). Ce nombre sera au moins égal à

— -— — Za "' 2 - (m - *>>

c'est-à-dire à p -\- 1 . Mais on aperçoit de suite une famille de polynômes P(oc,y) remplissant les conditions requises et dépendant de p paramètres; elle est fournie par

XO, y) = (ax + by -+- c) Q(ar, y),

Q(#, y) étant le polynôme général adjoint d'ordre m — 3 qui a joué le rôle fondamental dans la théorie des intégrales de première espèce. Pour une telle valeur de P, l'intégrale (i4) se réduit à une intégrale de première espèce; mais, puisque la famille générale des polynômes P(#, y), satisfaisant aux conditions indiquées, dépend au moins de p -J- 1 paramètres arbitraires, il y aura certainement un polynôme P(#, y) ne contenant pas ( ax -\- by -\- c ) en facteur, et, par suite, ne s'annulant pas en (£, r\). Pour un tel polynôme, Y intégrale (i4) esi de deuxième espèce. Il suffit,

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^5

pour l'établir, de remarquer que cette intégrale devient infinie au

point (ç, r\) de la surface de Riemann et en ce point seulement.

Cet infini est nécessairement un pôle; on pourrait le vérifier

directement, mais on évitera tout calcul en remarquant qu'une

intégrale ne peut avoir un seul infini logarithmique d'après la

relation

démontrée au paragraphe 3 de ce Chapitre. Le pôle est d'ailleurs évidemment un pôle simple.

Nous avons dit plus haut que le nombre des constantes figurant dans P était au moins p -f- i , ignorant a priori si la disposition particulière des points qui déterminent le réseau de courbes n'élèverait pas le nombre des constantes au-dessus du nombre p -h i qui est celui que donne la numération directe. En fait, on peut voir que ce nombre sera p -+- i : en effet, si l'on a deux polynômes Pi et V2 ne s'annulant pas en (£, y\)1 on peut choisir la constante a de manière que P, — aP2 s'annule en (;, yj); on a alors

|>,— aP2 = (ax+ by -h c)QO, y).

Donc P< ne dépend que de p -f- i constantes.

Soit H une intégrale (i4) de deuxième espèce ayant le pôle (;, -r\); il résulte de ce qui précède que toutes les intégrales de deuxième espèce ayant le pôle simple (;, r\) seront de la forme

(i5) aH-+.(J,I,-l-p*I*H-...-+-8

les I représentant p intégrales distinctes de première espèce, j et les j «les constantes arbitraires.

18. Nous [xniNoii», choisir a de manière que le résidu de l'intégrale (i5) relativement au pôle(£, rj) soit X uni té. De plus, on peul choisir les (3 de manière que les périodes de (i5) relatives aux coupures I) soient nulles. On a alors une intégrale de deuxième espèce parfaitement déterminée; nous l'appellerons X intégrale normale de deuxième espèce relative au p<>u>i ;, r. ). Dési gnons-la par E; ses périodes seront

•) <) ... «> <?, et ... r .,

Les périodes e, relatives aux coupures G, ont des valeurs extrêmement simples que nous allons maintenant faire connaître. Considérons à cet effet, avec Riemann, l'intégrale

ErfJ

où J^ est une intégrale normale de première espèce. Cette intégrale prise le long du contour K n'est pas nulle ici, comme celle que nous avons considérée au paragraphe 14, puisque la fonction E a un pôle au point (£, r,), mais nous aurons, d'après le théorème de Cauchv étendu aux surfaces de Riemann,

(16) fEdlh=2Tzï.R}

en désignant par R le résidu de

F (^h dx

par rapport au pôle (£, ■/]). Calculons de suite ce résidu ; le résidu

de E étant Fur (E, r;), on aura

j ri . u • • dS h , , ,. Qh(or. y) n •

de E étant 1 unité, et -r-, c est-a-dire ~ — .. J > restant fini pour

dx fy r

R Q/i(gi -n)

en désignant, bien entendu, par Qa(#, y) le polynôme adjoint d'ordre m — 3 correspondant à l'intégrale normale Jyi.

Quant au calcul de 1 intégrale figurant dans le premier membre de (16), il est entièrement analogue à celui que nous avons eu à faire au paragraphe 14; les périodes de E et J^ remplacent celles de 1 et i. On a immédiatement

Ainsi les périodes de Y intégrale normale de deuxième espèce relative â un pôle (£, tj) s'expriment d'une manière algébrique.

19. Prenons maintenant sur la surface p points (£,, rH), ( Ç2, ri2), ..., (^, t\p), qui vont rester fixes, mais à qui nous

DES INTEGRALES ABËLIENNES.

donnons une position arbitraire, et envisageons les intégrales normales de deuxième espèce correspondantes E,, E2, ..., E^. Nous allons montrer qu'aucune combinaison linéaire à coefficients constants des ip intégrales

Ei, E2, ..., E^,, J1} J2, ..., J^

ne peut se réduire à une fonction rationnelle de (#, y).

Il faudrait et il suffirait pour cela que toutes les périodes de

A.t Ei h- A2Ea-h...-f- A^E^-h Bt Jt -+-

HjJp

fussent nulles. Pour que les périodes relatives aux D soient nulles

on doit avoir

B1 = B2 = ...= Bj='o.

Les périodes relatives aux coupures C sont nulles si l'on a

Ai Qa(Çi, i\i) -+- A2 Q/, (;2, Hi)-+--..'-+-A.^Qa(^ i\p) = o (h = 1, 2, ...,/>).

Mais ces p relations entraînent nécessairement

car le déterminant

Qi(Ei,.*t) Qi(Çi,r,t)

Q*(£i, r|t) Q,(Ê,, rlt) .

kf-

Qa< £/>i

<V;>,-'h) Qp(Çi,i.)

ne peut être nul si les p points (Ci, ^1), . • • , (£p, "rç^) ont été pris arbitrairement (§ 10), et la combinaison formée est alors identiquement nulle.

Nous pouvons donc dire que nous avons formé % p intégrales de première et de deuxième espèce linéairement indépendantes, en entendant ici par intégrales linéairement indépendantes de9 intégrales dont aucune combinaison linéaire n'est rationnelle en (x, y). Il ny a aucune confusion à craindre pour les deux sens dans lesquels, suivant les cas, nous entendons l< ^ mots linéairement indépendants. Quand il sera question d'intégrales de deuxième espèce, il s'agira toujours 'du sens que nous venons d'indiquer. Il est clair (pie le déterminanl d'ordre a/? formé avec les périodes de tiôd > p intégrales n'est pas nul.

20. Toute autre intégrale de deuxième espèce s'exprime linéairement à l'aide des ip intégrales précédentes et d'une fonction rationnelle. Soit en effet H une intégrale absolument quelconque de deuxième espèce. Nous pouvons choisir les constantes A et B de manière que les ip périodes de

(17 ) H -4- A, Ex +.. .+- ApEp + H, J, -h. . . -f B^

soient nulles; d'après ce que nous avons dit plus haut, le déterminant des ip équations du premier degré ainsi obtenues ne sera pas nul. L'expression (l'y) n'ayant pas de périodes et n'ayant que des pôles sera une fonction rationnelle de (#, y), et nous pouvons, par suite, énoncer que toutes les intégrales de deuxième espèce s'expriment à l'aide de p d'entre elles, linéairement indépendantes, et d'une fonction rationnelle de (#, y).

On pourrait démontrer le théorème précédent, qui est capital, d'une manière purement algébrique, en s'appuyant sur la réduction que nous avons donnée (t. I, p. 68 et suiv.) pour les intégrales de différentielles algébriques. Du moins, on peut voir facilement ainsi que toutes les intégrales de deuxième espèce sont réductibles à 2jo d'entre elles et à une partie rationnelle en («r, r), mais il serait moins simple d'établir directement que ces i p intégrales sont linéairement indépendantes. Nous n'insisterons pas sur ce genre de démonstrations.

21. De même que nous avons cherché une relation entre les périodes de deux intégrales de première espèce, on peut, de lf) même manière, trouver une relation entre les périodes d'une intégrale de première espèce et celles d'une intégrale de deuxième espèce. Reprenons l'intégrale arbitraire H de deuxième espèce, et soit I une certaine intégrale de première espèce; on considérera encore l'intégrale

f\ld\

prise le long du contour K. Cette intégrale sera égale au produit de 2Tii parla somme des résidus relatifs aux différents pôles de

la fonction H -r-; cette somme R pourra être facilement calculée

dx r

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 48g

dans chaque cas, et l'on aura par suite la relation cherchée

2^ ( ch 8/i — yh dh ) = 2 ici. R,

en désignant respectivement par c/t, d/t et va, Oa les période» de H et I.

VI. — Étude directe des intégrales de deuxième espèce et de leur périodicité.

22. Nous nous proposons, dans cette section, de montrer rapidement comment on peut établir la théorie des intégrales abéliennes de seconde (et première) espèce, en supposant seulement connus les principes élémentaires de la théorie des fonctions analytiques, et sans avoir étudié au préalable les surfaces de Riemann('). Nous supposerons pour simplifier que la courbe algébrique f(x, y) = o de degré m n'a que des points doubles ù tangentes distinctes, et qu'elle n'a pas de position particulière par rapport aux axes, les m directions asymptotiques étant distinctes.

23. Etablissons d'abord que toutes les intégrales abéliennes relatives à la courbe y, restant finies à distance finie, sont nécessairement de la forme

P( x, y) dx

l} étant un polynôme.

Soit

/ l\(x, y ) dx \ \\ rationnel en x et y)

une intégrale abélienne restant linie à distance finie; il est clair (pie L'intégrale

j y* R(x, y) d i (X entier positif) restera également finie à distance finie. Désignons par r,, \ 2, ...,

('; V.. Pl( \i!i>. Sur 1rs intégrales abéliennes dé têcondé espèce et sur leur périodicité i finales de V Ecole Normale eupérieure, 1916

ym les m racines de

/Or,» = o;

l'expression symétrique

y\ R<X y\) + y\ R(*> jk»)-+-« • •-+■>« rO> /«)

sera une fonction rationnelle P(#), et comme

fP(x)dx

doit rester finie à distance finie, P(#) sera un polynôme. Ecrivons donc en faisant A — o, 1,2, . . . , m — 1,

R"(a>, 71') -H R(#, 72) -+-• .--H R(^,jKm) = P0(#),

y\ R(^,JKi)+J2 R(^P, J2) -+-... + JKm R(^,JKm) =P,('^P),

JKÏ"! R(X: rO-^rr1 R(^ r-2) -+-. • •■+- y%~ l R(*, JKm-l) = Pm-l(^),

les second membres étant des polynômes. Résolvons ces équations par rapport à R(^r, j^i )• On peut écrire

où les B sont des polynômes en x et y y. On en déduit de suite

La résolution des équations du premier degré se fera de suite en multipliant les équations par 1, Bn . . . , Bm,. Il vient ainsi

/yO, yi) R(#, ri) = x.(?j yù,

y^ étant un polynôme en ^ et y,. On en déduit, en supprimant l'indice,

c'est le théorème énoncé (').

(') On remarquera que la démonstration précédente ne suppose en rien que la courbe / n'a que des singularités ordinaires; les singularités pourraient être quelconques. .,-»..

DES INTEGRALES ABÉLIBNNES. 4<)fl

i2i. Cherchons enfin la forme générale d'une fonction rationnelle de x et r, qui reste finie à distance finie. Soit R(j?, y) une telle fonction rationnelle. Il est clair que si R reste finie, à distance finie, il en sera de même de

et, par suite, on a

Q.{xi )r) étant un polynôme en x et y. Pour que R reste finie à distance finie, il faut et il suffit évidemment (' ) que la courbe

passe par les points doubles et par les points de contact des tangentes à la courbe parallèles à l'axe Or.

2o. Cherchons maintenant la forme des intégrales de seconde espèce et le nombre de ces intégrales distinctes.

Nous pouvons supposer, les axes ayant une orientation quelconque par rapport à la courbe, que l'intégrale de seconde espèce envisagée ne devient pas infinie en des points simples de la courbe situés sur des tangentes parallèles à Oy ou sur des parallèles à O) passant par les points doubles. Mettons l'intégrale sows la forme

r Q(x,y)d.r y r P(g, y) dx

J y; jLJ (x-a)* y;.'

Q <-t les P étanl des j >< » 1 % nomes. Si une droite x = a esl tangente ;i la courbe, l'intégrale correspondante pourra seulement devenir infinie aux points doubles de la courbe, les seuls termes devenant infinis en ces points étant «le nature logarithmique.

Pour les autres droites .r — a, on pourra supposée | 3 i, après

une SOUStraCtioQ convenable, que 7. est égal à un.

Vuis aurons doue une intégrale de seconde espèce, que nous

Voir pai exemple dans le présent Chapitre lei 1." r el *< (») Tome 1. Chap. 11. Set t. m