Tome 1 <:hap. n, n

pouvons mettre sous la forme

Ç Q< x, y)dx \^ Ç P(a?, y) dx ^ Ç Pi (a;, y) dx

les droites # = a rencontrant la courbe en m points distincts ou passant parles points doubles^ tandis que les droites x = at sont

tangentes à la courbe et qu'une «intégrale de la somme > peut

seulement devenir infinie aux points doubles.

Considérons les intégrales de la somme 2. Si x = a rencontre la courbe en m points distincts, il est nécessaire que P(#, y) s'annule en ces points; car, autrement, ces points seraient des points singuliers logarithmiques. On en conclut que le quotient correspondant

est susceptible de se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y, et l'intégrale est de la forme du premier terme de J. Envisageons maintenant une intégrale de la somme S

fP{x, y) dx J x — a fy

pour laquelle la droite x = a passe par un point double A de coordonnées (a, b). Désignons par B,, B2, ..., B/w 2 les m — i autres points de rencontre de x = a avec la courbe. Le polynôme P s'annulera nécessairement aux points B, sinon ils seraient des infinis logarithmiques. L'intégrale (18) peut avoir comme infinis, avec terme uniquement logarithmique, les points doubles de la courbe autres que le point A. En ce dernier point, l'intégrale pourra devenir infinie sur l'une et l'autre branche, avec un

terme en

et un terme logarithmique en

\og(x — a).

Nous allons montrer maintenant que Ion peut retrancher de (18)

DES INTÉGRALES ABELIENNES. 4<)3

une expression

11 = - =— (A polynôme),

restant finie aux points B, et telle que la différence entre l'intégrale (18) et H n'ait plus, sur l'une et l'autre branche, comme terme devenant infini en A que le terme logarithmique.

11 faudra d'abord choisir \(x,y) de telle sorte que la courbe X=o soit tangente à f=o aux points B. Ensuite le polynôme A(#, y) devra s'annuler en A. Si on le développe suivant les puissances de x — a et y — />, on peut choisir les coefficients des termes du premier degré de manière que la différence entre (18) et H n'ait plus de terme en

sur lune et l'autre branche.

En retranchant des différents termes de la somme 5 une expression analogue à H, on aura l'intégrale

J, = J — in

qui manifestement sera encore une intégrale de seconde espèce. D'autre part, elle ne pourra devenir infinie à distance finie qu'aux points doubles, et en chacun de ces points l'infini ne pourra être que de nature purement logarithmique. On en conclut que J< reste toujours finie à distance finie. Par suite, d'après le paragraphe 23, J, est de la forme

Nous arrivons donc à la conclusion, que toutes les intégrales de seconde espèce, par la soustraction d'une jonction rationnelle convenable de x et y, se ramènent a fa forme

I ' /•. y 1 dx

fi

P(x, y) étant un polynôme (•).

('; Nous avon> supposé dans la rédaction que • ciiaiucs quantités a riaient

conooes. Il est clair que ces quantités pourraient n'être pas connues individuelle-

Il résulte évidemment du théorème du paragraphe 23 qu'une intégrale de seconde espèce de la forme (19) garde la même forme quand on fait tourner les axes Ox et Oy.

26. Nous devons chercher maintenant à quelles conditions une intégrale (19) est de seconde espèce. 11 faudra tout d'abord que lJ(#, y) s'annule pour les points doubles, car, autrement, il y aurait un point singulier logarithmique au point double pour l'une et l'autre branche. De tels polynômes sont dits polynômes adjoints. P(x,y) s'annulant aux points doubles, l'intégrale (19) reste finie à distance finie. On voit en effet de suite qu'elle reste finie aux points de contact des tangentes parallèles à Oy. L'intégrale deviendra en général infinie aux m points à l'infini de la courbe. On voit facilement que la somme des résidus correspondants de R(#, y) sera nulle. Posons en effet

et formons, pour les m branches, la somme

R(>,7, )■+■ R(x, j2) +...-+- R(x, ym );

elle se réduira nécessairement à un polynôme en x. La somme des

résidus de R(^r, y) pour les m points à l'infini est donc nulle

nécessairement.

Le nombre des conditions pour que l'intégrale restant finie à

distance finie

P( a?, y ) doc

fy

soit de seconde espèce est donc au plus égal à m — 1 . Il est essentiel de démontrer qaily a bien effectivement m — 1 conditions distinctes.

Ql . Avant d'aborder ce point, arrêtons-nous sur les intégrales

ment, mais être racines de certains polynômes La considération des fonctions symétriques permet de n'introduire aucune irrationalité, et nous pouvons dire que la réduction à la forme (19), d'une intégrale de seconde espèce rationnelle par rapport aux coefficients de /, est susceptible d'être faite sans l'introduction d'irrationnelles.