DES INTÉGRALES ABEL1ENNES

de première espèce, c'est-à-dire sur les intégrales restant partout finies. 11 est facile de voir que le degré de P ne devra pas dépasser m — 3 ('). Les intégrales de première espèce sont donc de la forme

Q(^, y) étant un polynôme de degré m — 3 s'annulant pont les points doubles. On établit que le nombre de ces intégrales linéairement indépendantes est égal à

a ( que I on désigne par p),

t/ étant Je nombre des points doubles. On peut effectuer la démonstration, en se servant du théorème d'Abel sous sa forme élémentaire (2). Si l'on veut rester à un point de vue algébrique, on peut utiliser la théorie des groupes de points sur une courbe plane de Brill et Nother (voir, par exemple, le Tome II de ma Théorie des Jonctions algébriques de deux variables, p. 21).

28. Revenons au théorème énoncé à la fin du paragraphe 26, et considérons à cet effet le cas où P(#, y) est de degré m — 2. Ce polynôme, qui s'annule aux points doubles, contient exactement

p -h m — 1 constant»

puisque déjà, pour le polynôme de degré m — 3, la disposition des points doubles ne pouvait avoir aucune influence sur le dénombrement des conditions (paragraphe précédent).

Les p -j- ni — 1 polynômes adjoints \\ d'ordre ni — 2, linéairement indépendants, sont, si Ton veut, les p polynômes adjoints d'ordre m 3, puis m 1 autres avec des termes de degré m — 2; d'où la conséquence (pie, dans le polynôme adjoint général d'ordre m :>.. les termes d'ordre m — 2 peuvent être pris arbitrairement. Soit

) oit daqi 1 < Chapitre le n* 8.

1 on dans ce Chapil re le n° 10.

Les résidus de l'intégrale (19) sont

tt étant une racine de <pm(i, £) = o. Or, si l'on décompose

Pm-l(t, t)

«pm(r, O en éléments simples, on aura

Ai A2 A„,

On a bien SA = o; mais, sauf cette condition, les A sont arbitraires. On est donc assuré que, pour P de degré m — 2, et a fortiori pour P de degré supérieur, le nombre des conditions exprimant que V intégrale

P ( x, y ) dx

n '« pas de point logarithmique à V infini est exactement égal à m — 1 .

29. Nous arrivons maintenant à la recherche du nombre des intégrales distinctes de seconde espèce, c'est-à-dire des intégrales dont aucune combinaison linéaire n'est une fonction rationnelle de x et y. On peut établir d'abord que, par la soustraction d'un polynôme convenable en x et y, l'intégrale ci-dessus peut être ramenée à une intégrale de même forme, où le degré de P ne surpasse pas im — 4 {voir t. I, p. 70). Nous sommes ainsi assuré que le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce est limité. Nous allons cependant raisonner en supposant que dans l'intégrale de seconde espèce

(ao) j — j,

le polynôme adjoint P soit de degré quelconque X.

Toute intégrale du type précédent, qui serait rationnelle en x et y, est nécessairement de la forme

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Q(jc, y) étant un polynôme adjoint d'ordre X-p-i, qui passe en outre par les points de la courbe, où la tangente est parallèle à Oy (§ 24). Cherchons combien de constantes figurent dans (20) et (2 1 ); leur différence donnera le nombre cherché des intégrales distinctes de seconde espèce.

Dans (20) le nombre des constantes est

: — a — < ni — 1 ) ;

le premier terme représente le nombre des constantes figurant dans un polynôme de degré X, le second provient de la réduction de ce nombre par le fait que l'on peut retrancher de P(#, y) le produit

8 étant un polynôme de degré X — m; le troisième est relatif aux points doubles, et le quatrième provient des conditions pour la seconde espèce. L'expression précédente se réduit à

(22) Xm-hi—- — -—d—{m — i).

Le nombre des constantes de (21) se trouve aussi facilement; c'est

r« /> v (ni — \){m— 2) , . ,,

La signification des termes est bien claire. Nous avons d'abord des termes qui représentent, au terme —(m — 1) près, l'expression (22), où X a été remplacé par X -+- 1 , il y a ensuite les points de contact représentés par/?* (m — 1) — 2 d. Ouant au terme — 1, il provient du fait que l'opération de la dérivation supprime dans (21.) une constante. Comme X est pris aussi grand que I ou voudra, toutes les conditions sont bien indépendantes.

En retranchant l'expression (23) de l'expression (22), on trouve le nombre

Nmi^ ayons donc établi que le nombre «les intégrales distinctes de seconde espèce est égal à 2p. C'esl la proposition fondamen taie.