PICARD. II

On peut donc former i p intégrales distinctes de seconde espèce

dont aucune combinaison linéaire n'est une fonction rationnelle de x et y, et telles que toute intégrale de seconde espèce est de la forme

AiJ!-h A2J2-h. . .+ A2i>J2;;+ p<>, y),

les A étant des constantes, et p(#, y) une fonction rationnelle de

x ely(*).

30. Passons à la périodicité des intégrales de seconde espèce. Pour compter les périodes, procédons comme le font Briot et Bouquet (2) en introduisant, avec Clebsch et Gordan, la notion des lacets fondamentaux.

On définit d'abord m — 1 lacets dits fondamentaux, en prenant un premier lacet permutant une racine y0 de

avec une seconde racine y,, puis un second lacet permutant l'une des racines j'0 ou ys avec une troisième racine y2, et ensuite un troisième lacet permutant l'une des racines y0, y{ ou y>2 avec une quatrième racine jr3, et ainsi de suite jusqu'à ym , .

On démontre de suite qu'il n'y a qu'un seul chemin formé de lacets fondamentaux unissant une racine ya à une racine yp, abstraction faite de lacets parcourus deux fois en sens inverse.

On établit ensuite qu'il n'y a pas de cycles formés seulement de lacets fondamentaux. Un cycle simple est un cycle contenant un seul lacet fondamental, et il est immédiat que tout cycle est une somme de cycles simples. On trouve enfin aisément qu'il y a

ip -+- m — 1 cycles simples. Tous les cycles se ramènent à ceux-ci.

(J) De la note du paragraphe 25 il résulte que les intégrales J peuvent être formées sans introduire aucune irrationalité par rapport aux coefficients de /; la réduction précédente peut se faire dans les mimes conditions.

(3) Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 5i.

DES INTEGRALES ABÉLIENNES. 499

31. Envisageons maintenant une ' intégrale quelconque de seconde espèce de la forme

P(x, y)dx

et cherchons le nombre de ses périodes. Les ip-\-m — i cycles simples, dont nous venons de parler, ne donnent que i p périodes. Pour le voir, on considère le contour fermé, formé par tous les lacets partant d'un point O. L'intégrale prise, en prenant à l'ori-

Fîg. 5i bis.

CLm

gine O du premier lacet une détermination quelconque )/ pour r, est évidemment nulle, puisqu'elle revient à une intégrale prise autour du point à l'infini.

Les m équations ainsi obtenues se ramènent évidemment de suite à m — i, mais elles ne se ramènent pas à un moindre nombre, d'après ce qui aété dit plus haut (n° 28) pour le point à V infini dans le cas des intégrales de seconde espèce. Or chacune de ces équations s'exprimera par une relation à coefficients entiers entre les périodes. Nous obtenons par suite m — i relations distinctes entre les i p -J- m - \ périodes. Il y a donc au plus ip périodes pour une intégrale arbitraire de seconde espèce.

(lette intégrale a-l-clle moins de 2p périodes? La réponse est négative, comme il v.» résulter «les résultats précédemment établis. Considérons eu effet les 2 /> intégrales distinctes de seconde espèce

•h, Jft, • . . , .!.>//.

Le déterminanl d'ordre 2p formé avec les 2p périodes, « j n <■ nous venons d'obtenir pour chacune de ces intégrales, n'est pas nul; car, autrement, <>n pourrait choisir les A de manière que

l'intégrale

A1J1-4-A2J2-+-...-+- AîpJzp

fût sans période, et fût par suite une fonction rationnelle de (#, y). Les intégrales J ne seraient pas alors distinctes.

On peut donc former une intégrale de seconde espèce ayant 2 p périodes arbitrairement données, ce qui exclut toute possibilité de réduction pour les périodes.

3:2. Ainsi se trouvent établis, en toute rigueur, les points essentiels relatifs à la périodicité des intégrales abéliennes, sans recourir à la considération des surfaces de JRiemann.

On peut remarquer que la théorie des intégrales abéliennes de seconde espèce est, au fond, plus simple que celle des intégrales abéliennes de première espèce. La même circonstance se présente dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, où l'étude des intégrales de différentielles totales de seconde espèce est plus facile à faire que celle des intégrales de différentielles totales de première espèce.

33. Gomme application de la réduction des intégrales de seconde espèce, proposons-nous de rechercher comment on pourra reconnaître si une intégrale

/ R(ar, y ) dx ( R rationnelle en x et y)

est une fonction rationnelle de x et y.

La réduction faite plus haut donne aisément la marche à suivre. Tout d'abord l'intégrale devra être de seconde espèce; on la mettra alors sous la forp^e

A1J1+A2J2 + .. .-+- k2p5ip-+- p(x,y),

0 étant rationnelle en (.r, y). 11 faut et il suffit que toutes les constantes A soient nulles. On se rend donc compte immédiatement que toutes les conditions sont de nature algébrique.

34. Prenons en particulier une courbe algébrique représentée par

équation dont les coefficients sont supposés dépendre rationnelle-

DES INTÉGRALES ABÉLTENNES. 5oi

ment d'un paramètre a. Prenons une intégrale de seconde espèce (pour a arbitraire),

dépendant rationnellement de a. Il est aisé de voir que ses ip périodes, considérées comme fonctions de a, satisfont à une équation différentielle linéaire d'ordre 2/?, à coefficients dépendant rationnellement de a.

En effet les intégrales

sont visiblement des intégrales de seconde espèce, pour a arbitraire. Il y a donc certainement une combinaison linéaire

AiI + Ait+v.+ A,,

où les A sont rationnelles en a, qui est une fonction rationnelle de x et^, puisqu'il ne peut exister 2 y? -h 1 intégrales distinctes de seconde espèce.

Si donc to est une période de l'intégrale, correspondant à un cycle quelconque, on aura

dm d^i'hi

A0io -+- A, -7— -h... H- V^, , „ = o.

C'est l'équation que nous voulions former.