VII. — Des intégrales de troisième espèce

35. L'étude des intégrales de troisième espèce se fait d'après les mêmes principes que («Ile des intégrales de deuxième espèce. Partons ici dune droite quelconque ax -\- by -\- c = o, et, parmi les m points de rencontre d<- cette droite avec La courbe /, consi dérons-en deux particulièrement <;,, rl{) et (c2, *a)j nous 1<^ désignerons simplement, pour abréger, par les points ;, et £2 . Ceci posé, formons encore l'intégrale

.! (ax 4- Oy-+-c)fy '

P (x, y) étant un polynôme adjoint d'ordre m — 2 s'annulant pour les m — 2 points de rencontre de ax -f- by-\- c = o avec/", distincts de £1 et £a. Sous ces conditions, l'intégrale précédente deviendra infinie pour Ç, et Ç2, si le polynôme P ne s'annule pas en ces deux points. On montrera comme plus haut que le polynôme P renferme p-\-i constantes arbitraires et qu'il existe un polynôme î>(xJy)ne s'annulant pas pour £, et £2, tous les autres étant de la forme

L'intégrale ainsi obtenue aura les deux points E, et Ç2 comme infinis logarithmiques; dans le voisinage du premier, la fonction deviendra infinie comme

Alog(V — .C»),

A étant une constante, c'est-à-dire qu'elle sera égale à l'expression précédente augmentée d'une fonction holomorphe dans le voisinage de Ci. Elle deviendra infinie, pour a? = £*, comme

— Alog(x — £=>)•

Les coefficients des logarithmes sont égaux et de signe contraire d'après la relation ^A — o du paragraphe 3.

On peut choisir la constante a de manière que A = 1 , et, de plus, les constantes (3 peuvent être déterminées de telle sorte que les périodes relatives aux coupures D de notre intégrale de troisième espèce soient toutes nulles. On a alors une intégrale de troisième espèce que nous appellerons intégrale normale de troisième espèce relative aux points \\ et Ç2. Nous la désignerons par

les parties logarithmiques de cette intégrale sont respectivement

pour \x et £2

-+-Iog(# — Si) et — log(:r — Çt),

et les périodes relatives aux D sont toutes nulles. Nous allons calculer les périodes relatives aux coupures G; l'intégrale a de plus une période polaire 2 tt i relative aux points singuliers logarithmiques.

DES INTÉGRALES ÀBÉLIENNES. 5o3

36. Les périodes cycliques de Se g , relatives aux coupures C et que nous désignerons par Si, s4, . .., ç^, ont une forme très simple; nous allons les trouver en suivant la même voie que pour les intégrales de seconde espèce. Considérons toujours le contour K sur la surface de Riemann (fig. 5a), puis réunissons les points \\ et ç2 par une ligne ne rencontrant pas K et dont

nous faisons une nouvelle coupure que nous joindrons par une autre coupure a|3 à un point quelconque de K. Appelons K/ le contour K modifié par cette addition, et supposons-le parcouru dans le sens des flèches de la figure. Il est manifeste que l'intégrale (24) fs^Ldin

prise le long du contour K' est nulle, hi désignant toujours une intégrale normale de première espèce. Nous aurons comme valeur des éléments en m et /// :

en m ^i,itdSh

en m1 — ( Sç, ç, -+- 1 « i ) d\ h

dont la somme donne

et, par suite, la valeur de l'intégrale (24) sur les deux bords de la coupure ( jjj, Ç5 ) est

Les intégrales des deux bords de la coupure -/i se détruisent el il reste à évaluer l'intégrale relative au contour K. Or c'est un calcul que nous avons déjà fait à différentes reprises ; l'intégrale

5o4 CHAPITRE XIV.

se réduit à s/, et nous avons donc

= 'i 7t i f di f, ( h = i , 2 , . . . , p ),

formule qui fait connaître les périodes, relatives aux C, de l'intégrale normale de troisième espèce.

37. Il est facile de voir que toute intégrale de troisième espèce est une somme d'intégrales normales de troisième espèce et a" une intégrale de seconde espèce .^ Supposons que l'intégrale II considérée ait r points singuliers logarithmiques ct\, a-2, • • • , O-r avec les coefficients correspondants A4, A2, ..., Ar satisfaisant nécessairement à la relation

A, + A2 + ...+ Ar= o.

Formons les intégrales normales de troisième espèce

et la combinaison linéaire

■*i SàjnjM- î>-2 S^2rt3 -t- . . . -\- B/— j S„r lrt .

On peut choisir les B de manière que cette somme devienne infinie en ai, a2, . . . , ar comme l'intégrale II. On n'a qu'à écrire

B,- Al5 B2 — B, -A2,

B/-i — B,.2 — Ar i, - B,^ = A,.,

et ces /• équations compatibles, en vertu de SA =: o, déterminent les B. Ces coefficients étant ainsi choisis, l'intégrale

n — (BtSrflrt2 -+-...-+- B,. iSrtr lflr)

n'aura plus de points singuliers logarithmiques : ce sera une intégrale de seconde espèce.