Démontrons maintenant le théorème important connu sous

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 5o5

le nom de théorème de V échange du paramètre et de l'argument.

On trace sur la surface de Riemann, rendue simplement connexe au moyen du contour K, deux coupures (Iji, £2 ) et (oLi} a2 ) ne coupant pas K et ne se coupant pas entre elles. Formons alors les deux intégrales normales de troisième espèce

SljjEj et Sa, a2,

qui sont des fonctions uniformes sur la surface affectée des coupures indiquées. Pour avoir un contour unique, nous joindrons,

comme plus haut, les coupures jjj ;.. et les coupures ai a., au contour K : on forme avec toutes ces coupures un contour unique K'.

Nous avons Ja relation

SS,É,rfS«.a,= o,

d'après le théorème fondamental de Cauchy étendu aux surfines de Riemann. La partie de l'intégrale relative au contour K sera nulle puisque les périodes relatives aux coupures D des deux fonctions S sont nulles. Il reste simplement à considérer les intégrales relatives aux coupures ( ;i ;-2 ) et (ai a» ). La première nous donne, par un calcul tout à l'ail analogue à celui du paragraphe 36,

— >TZi / <-/Saia,.

Pour avoir la seconde, remarquons que le l<>n^ d'une ligne entou

rant les deux points a,, a., on a, en intégrant par parties,

/ SÇ, \% dSa, a, = — / Sa, «, dS\x Ç, ;

5o6 CHAPITRE XIV.

or la seconde intégrale donnera de suite, pour la coupure ai a,,

-+■ 'in i ! «S^ç,.

On a donc l'égalité

• ? . vu.

qui exprime le théorème de X échange du paramètre et de V argument.

39. Nous terminerons ces généralités sur les intégrales abéliennes en revenant au théorème d'Abel, sommairement étudié au paragraphe 5 de ce Chapitre, et en lui donnant pour les intégrales de troisième espèce une forme très commode pour les applications. Nous allons d'ailleurs employer encore une fois la considération d'intégrales de la forme

étendues à un circuit convenable de la surface de Riemann, intégrales que ce grand géomètre a employées si heureusement pour l'étude des propriétés fondamentales des intégrales abéliennes des trois espèces, comme on vient de le voir dans les paragraphes précédents. Soit toujours S?i ç.2 l'intégrale normale de troisième espèce correspondant aux points £i et £2, et désignons par

les équations de deux courbes de degré n. La première rencontre la courbe f en mn points ai, a2, ..., aTOn et la seconde en mn points (3i, [6.2, . . ., j3m„. Après avoir tracé sur la surface de Riemann le contour K et la coupure Ç'i'Çj, nous joignons par des arcs de courbe ces points de rencontre deux à deux, en nous arrangeant de manière que les lignes

(a, (3,), (a2p2), ..-, (Zmnfrmn)

ne se coupent pas entre elles et ne coupent pas le contour K ni la coupure £i£2. Nous allons considérer les lignes précédentes comme des coupures que nous joindrons au contour K par des

DES INTÉGRALES ÀBELIENNES.

coupures auxiliaires ainsi que la coupure \\ Çs, et nous désignons par K/ le contour total ainsi formé. Ces constructions faites for-

mons l'intégrale

IwltëtiU-

Elle sera nulle; or il est facile de calculer sa valeur en raisonnant connue nous l'avons déjà fait à différentes reprises.

La fonction logy n'ayant pas de périodes cycliques, la partie

(1«- l'intégrale précédente relative à K sera nulle. D'autre part,

l'intégrale relative aux coupures auxiliaires est évidemment nulle. Calculons la valeur de l'intégrale pour une coupure OLh$h ', nous aurons

— a Tri/ dS^it.

JOLh

Pour l'intégrale relative à la coupure \\ ça, on substituera, après intégration par parties, L'intégrale

ci, par suite, on aura

•/sU,<*log{;

2 7tt / d loc -7 OU J.r.i I04; ( -7 ) ( - ) j

en désignant pari-?) la valeur de la fonction rationnelle +■ au point ;;. Il vient donc finalement

h = mn

5o8 CHAPITRE XIV.

C'est le théorème d'Abel pour V intégrale normale de troisième espèce. Pour l'avoir sous une forme qui corresponde aux généralités [indiquées plus haut (§ 5), il suffit de considérer une famille de courbes

X(#, y, au a->, . . ., ar) = o

dépendant de r paramètres arbitraires qui figurent rationnellement dans cette équation.

Supposons que la courbe co corresponde à des valeurs numériques fixes données aux paramètres, tandis que <l correspondra à des valeurs arbitraires de ces paramètres. On voit que le second membre sera le logarithme d'une fonction rationnelle de ces paramètres ; ceci est d'accord avec le premier énoncé que nous avons donné du théorème d'Abel ( ' ).

40. Le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce se démontrera évidemment par la même voie ; on aura seulement à considérer l'intégrale

/log

?rfr,

I désignant une intégrale de première espèce. Il n'y a pas ici de points Si et £2, et l'on a de suite

dl = o.

J'ajoute seulement encore une remarque importante sur l'application du théorème d'Abel aux intégrales de première espèce.

Considérons un faisceau de courbes adjointes d'ordre m — i. Ce faisceau contiendra

— • — > a, — ou m — 2 -+- [>

paramètres entrant d'une manière non homogène.

(*) Cette forme du théorème d'A.bel, ainsi que le théorème sur l'échange du paramètre et de l'argument, ont été donnés par Glebsch et Gordan dans leur Ouvrage classique : Théorie der Abelschen Functionen (18G6).

DES INTÉGRALES ABELIENNES 5o9

Or le nombre des points de rencontre de /avec les courbes de ce faisceau est

m (m — 'à) — 2at-. i ( i — i ) ou m — •>. -t- i p.

On pourra donc prendre m — 2 -f- p points arbitrairement et les p autres s'ensuivront, leurs coordonnées étant fonctions algébriques des coordonnées des premiers. Ceci posé, nous pouvons établir que la somme d'un nombre quelconque d'intégrales abèliennes de première espèce est égale à une somme de p intégrales dont les limites sont des fonctions algébriques des limites des premières. Nous voulons dire par là que la somme des k intégrales

XhXh

où (x0,y0) est un point fixe de la courbe, peut s'exprimer par une somme de p intégrales

où les ( çx, Va) sont des algébriques des (#*, )a).

La démonstration est immédiate : il suffit de montrer l'exactitude du théorème pour p-\-i intégrales. Or, parmi les m — 2 ^- p points de rencontre dont nous disposons arbitrairement, supposons que p -f- 1 coïncident avec les limites données de nos intégrales, les autres étant des points fixes. L'application du théorème d'Abel nous permettra d'exprimer la soin me des p -f- 1 intégrales par une somme de p intégrales dont les limites sont fonctions algébriques' des p -f- 1 premières limites. La proposition est donc établie.