VIII. — Théorème d'existence des fonctions abèliennes

11. Nous avons vu que, pour une courbe «le genre un, l'inversion de l'intégrale de première espèce

Q y)dx fi

5lO CHAPITRE XIV.

donne pour x et y des fonctions uniformes, doublement périodiques, de u.

Il n'en est plus de même pour une courbe de genre supérieur à l'unité. Jacobi a indiqué dans quelle direction devait être faite la généralisation pour une courbe de genre supérieur à un.

Soit donc une courbe

de genre jo, et/? intégrales distinctes de première espèce

Qi(œ,y

f'y On va montrer que les p équations

dx (i = j, 2, . . ., p).

1 Qi(x. y) dx

Jtn. h.\ J Y

donnent pour toute fonction rationnelle et symétrique des p points (xi,yi), des fonctions uniformes des p variables indépendantes ut, u2,>..-, up. C'est !e théorème d'existence des fonctions abèliennes.

■42. Commençons par un lemme préliminaire se déduisant immédiatement du théorème d'Abel. Les adjointes d'ordre m — 2 de la courbe/ renferment m — 2-f-p paramètres (non homogènes), et ont m — 2 -h ip points de rencontre avec elle en dehors des points doubles. Donnons-nous p ~\- 1 points (a,, 64) , . . ., (#/,+!, bp+i) points sur la courbe et faisons passer par ces points une adjointe d'ordre m — 2 ; nous aurons d'autres points de rencontre que nous partageons en deux groupes, un premier groupe de m — 3 points (aj, (3,), . . ., (am 3, J3W 3) et un second groupe de p autres points (c,, û?, ), . . ., (cp, dp). Considérons le réseau passant par les points (a, è3) ; il dépend de p -\- 1 arbitraires. Désignons les ip-\-\ autres points de rencontre de ce réseau avec la courbe par (i(,/,), .. ., (zp+i, J/h-i), (Si, rn)> •••» (£/>>"V)- L'application du théorème d'Abel donne, pour une intégrale quelconque

DKS INTEGRALES ABÉLIENNES. 5ll

de première espèce,

/» •' I'.1 1 r> 'rp t* oXp-t l r> ->\> Oi /-» Çj>> f\y

Appliquons une nouvelle fois le théorème d'Abel, en partant d'une adjointe passant par les points (a, JÏJ), et par le point («/?+«, bp+\)', les autres points de rencontre de cette adjointe seront (X,, Yj), . . . , ( \p. \ p). On aura

' l>> "y ' 1j "1 « pi " f

En retranchant les deux relations précédentes, on obtient

L'ensemble des (X,Y) est rationnel par rapport aux (jc,r), c'est-à-dire que toute fonction rationnelle et symétrique de (Xi, Y,),... , (Xj,, \ ff) est rationnelle par rapport aux (x,y). En continuant ainsi de proche en proche, on a le théorème suivant. Etant donné* q points (.r, , y{), ..., (xq, yq) de la couvhe f (q >> /?), la somme des q intégrales

•v1 1 peul se mettre sous la forme d'une somme de p intégrales

l'ensemble des (X, Y) étant rationnel par rapport à l'ensemble

(1rs | ./ . i i.

13. Ce résultat obtenu, <»n considère les équations ( E), puis les équations analogues, en mettant des accents aux {x,y) (,t aux // ; ce sera le système ( E' }.

Dans Le voisinage *\r tt { — tt.2 = ... // P - o, les équations I donnent pour (xi} yt), ..., {^ptXp) e' P;" SI,*,,: p0"'* leur en semble des fonctions holomorphes de u , pourvu que Le détermi

nant fonctionnel des premiers membres des équations différentielles

IQiOà, àh)\

ne soit pas nul, c'est-à-dire que les points (at, bs), . . . , (ap, bp) ne soient pas sur une adjointe d'ordre m — 3. En ajoutant les équations (E) et (E'), on obtient le système d'équations

/ -p h... •-+•/ —— =ux^u'.

Ja,.bx Jy Jn„.br Jy

Ceci posé, soit F une fonction rationnelle symétrique quelconque de (#), yK), . . ., (xp, yp). On peut évidemment former p -\- i fonctions de cette nature F,, F2i . . . , ^p+t-, liées évidemment par une relation algébrique

X(Fl5 F2, ..., Fp+i) = o.

On voit d'abord que les F sont des fonctions holomorphes des u dans le voisinage de zéro, et ces fonctions sont telles que les F de u-\-u' s'expriment rationnellement à l'aide des F des u et des F des u '. Nous ferons maintenant les u égaux aux u ; il résulte de ce qui précède que les F pour les valeurs 2 ut , 2 u-2-, . . . , 2 up des variables s'expriment rationnellement à l'aide des F de us, w2, ••• j up- . L'extension analytique des fonctions déterminées d'abord comme fonctions holomorphes des u pour des valeurs assez petites se fait de proche en proche en doublant le domaine dans chaque plan des variables. Les fonctions F sont donc des fonctions analytiques uniformes des u pour toute valeur finie des variables, et elle présentent partout le caractère de fonctions rationnelles, c'est-à-dire se présentent sous la forme d'un quotient de deux fonctions holomorphes dans le voisinage d'un système quelconque de valeurs finies des variables.

Ces fonctions portent le nom de fonctions abéliennes, et le théorème d'existence les concernant est donc ainsi établi.

Les fonctions abéliennes sont 2/? fois périodiques. En effet, pour un même système de valeurs des (x^ y^), . . ., (xpy yp), en variant les chemins des intégrales les u augmentent simultanément de sommes des multiples de périodes. On voit en quoi consiste ici la périodicité ; elle est simultanée, c'est-à-dire que les u sont à augmenter simultanément d'une période.

DES INTÉGRALES ABELIENNES. 5l3

44. Il y a certaines valeurs des u pour lesquelles il y a indétermination pour l'ensemble des (x , y) . Supposons en effet que les (xi,yi) viennent coïncider avec p points (£,-, t\i) situés sur une adjointe d'ordre ni — 3 . Soit yt la valeur de m ; on a

Jctub, Jy Jav,bjtt Jy

Or considérons l'adjointe d'ordre m — 3 passant par les (ç,^) ; il y a d'autres points de rencontre

et Ton a

(a,, Pj), . .., (a;,2, P,,-,), r^l'TnQidx r^'Tl>'0,dx

J aubK Jy Jav,bv Jy

C a" pl Qi dx r a''"2' ^ "5 Qi dx __ ■+■ / -77- ■+■•..-*- I -77 w,

les (c, â?) étant des points fixes choisis une fois pour toutes, et les constantes G/ étant les mêmes pour toutes les adjointes d'ordre m — 3. On a donc

cudi Jy ^Cy-t.dp—i

fr

Le point d'indétermination (v, y2, . . . , y^) ainsi obtenu dépend donc de /? — 2 arbitraires, à savoir les (a, (3) . Pour une valeur (7n Ya •• •• Y/>) des w, l'ensemble des (#,jk) dépend d'une constante arbitraire, le paramètre du faisceau passant par les (a, (3).

15. Pn nons le cas particulier de p = 2. Nous pouvons envisager la courbe

R (#) étant un polygone du cinquième degré, On a donc ici les deui équations

rl,u dx /»■">•>« dx

r,,'v' ar^ /«*•«»/■ xdx