CHAPITRE XIV. — DES INTÉGRALES ABELIENNES

Les courbes x = consL jouent ici le rôle d'adjointes d'ordre m — 3. Il j a lui point unique d indétermination donné par

= r%,ri dx rl~Ti dx

Tl Ja v/R(^) +Ja b s/R(x) 3? d'à? /" ■ x dx

Ç ,n x dx Ç

y4 et y2 dépendent seulement en apparence de \ ; on le vérifie d'ailleurs immédiatement, puisque la différentiation par rapport à \ donne

c'est-à-dire que yt et y2 sont des constantes. Le point d'indétermination est

abstraction faite, bien entendu, de sommes de multiples des périodes.

DES FONCTIONS UNIFORMES SI R l NE SURFACE DE RIEMANN (*).

I. — Décomposition des fonctions rationnelles de x et y en éléments simples.

I. Les fonctions uniformes F sur la surface de Riemann, dont nous allons nous occuper dans ce Chapitre, n'ont d'autres points singuliers que des pôles ; ce sont, par conséquent, des fonctions rationnelles de x et y, en désignant toujours par

l'équation de la courbe algébrique dé degré m qui définit la surface de Riemann.

Nous commencerons par définir le degré d'une fonction F, en montrant que l'équation

G étant une constante arbitraire, a toujours le même nombre a de racines, quelle que soit la constante C ; ce nombre lu sera le degré de la fonction. Il suffit, pour l'établir, de (aire voir que le nombre des racines de cette équation est égal au nombre des pôles de F. Considérons à cet effet l'intégrale

(x) Api « - les Mémoires déjà cités de Riemann, un travail capital sur ce sujet ■ lui de MM. l'-nll el Nôther < Hathtmatischt Annaten . t. \ il , ; les questions il traitées .1 un point de \u.- puremeoi algébrique.

5l6 CHAPITRE XV.

prise le long du contour K qui rend la surface de Riemann simplement connexe. D'après un théorème fondamental de Cauchy étendu aux surfaces de Riemann, cette intégrale sera égale à la différence entre le nombre des racines de l'équation (i) et le nombre des pôles de F; or l'expression (2) est nulle, puisque, F étant uniforme sur la surface, les éléments se détruisent deux à deux. Le nombre des racines de (1) est donc indépendant de C : c'est ce que nous appellerons le degré de la fonction F. 11 est clair que le théorème précédent peut être considéré comme la généralisation du théorème fondamental de la théorie des équations. Dans le cas du plan simple de Cauchj et d'un polynôme en x de degré m, on a une fonction ayant m pôles (un pôle multiple d'ordre m à l'infini) ; elle a donc m racines.

2. Les intégrales normales de seconde espèce vont nous servir d'éléments simples pour décomposer une fonction F. Supposons que cette fonction ait fji pôles que nous supposerons simples (*), Ç1? £2> •••} £[ai et soient a,, a2, ..., a^. les résidus correspondants. Formons les intégrales normales de seconde espèce

E„ E2, .... Ej,

correspondant à ces [jl pôles. La différence

F — (aiEi-t- a2E2-f-.. .-h a^Ey)

n'a manifestement plus de pôle ; elle doit donc se réduire à une intégrale de première espèce. Or les périodes de cette intégrale de première espèce correspondant aux coupures D sont nulles, puisque F n'a pas de périodes, et que les périodes relatives aux coupures D des intégrales normales de seconde espèce sont nulles. Mais nous savons qu'une intégrale de première espèce, pour laquelle les périodes relatives aux D sont nulles, se réduit nécessairement à une constante (Chap. XIV, § 13). Nous avons donc /' ide n tité fon da menta le

(3) F=a1EI + ajE! + ...+ aj1E[l+a|Jl+1,

les a étant des constantes.

(l) Dans la suite, nous supposerons toujours que les pôles dont il sera parlé sont des pôles simples.

On voit qu'on obtient ainsi une décomposition de la fraction rationnelle dans laquelle les intégrales normales de seconde espèce jouent le rôle d'éléments simples. La formule précédente peut être considérée comme la généralisation de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

3. La fonction F étant uniforme sur la surface de Riemann, les périodes relatives aux coupures C doivent être nulles. Nous avons donc les p relations

QA(Çl, TQl)., Q/i(?2, r.2)

Nous devons d'abord remarquer que l'expression (3) sera certainement une fonction rationnelle de x et y, si les constantes a vérifient les relations (4), car celles-ci expriment que les périodes de

relatives aux coupures C, sont nulles ; comme, d'autre part, les périodes relatives aux coupures D sont aussi nulles, l'expression précédente n'a pas de périodes, et est, par suite, une fonction uniforme.

Nous allons faire, tout à l'heure, une étude approfondie de ces relations. Pour le moment, déduisons-en la remarque capitale, qu'tï ne peut existe?' de fonction rationnelle de x et y ayant pi pôles simples arbitrairement donnés, si

Il suffira de le montrer pour \x=p. Les p relations pré* dentés entraîneraient

Qt(Çi, m i Qi(Ç*j

1 ! ;i- ni I Qî(Çii

Q/>(îi, ii » Q . ii »

e! F)(»us avons déjà dit que ce déterminant \\r pouvait être nul si

p points f:/,, y,/,) son! arbitraires. Dans ses Leçons sué la

théorie des fonctions abéliennes, M. Weicrstrass prend Le théo-

5l8 CHAPITKE XV.

rème précédent comme définition du genre. Se plaçant à un point de vue purement algébrique, il commence par établir qu'il y a un certain minimum au-dessous duquel ne peut descendre le nombre des pôles simples, supposés arbitrairement choisis, d'une fonction rationnelle de x et y. Ce nombre minimum, diminué d'une unité, est ce que M. Weierstrass désigne par la lettre p et appelle le rang de la courbe : ce nombre p n'est autre que le nombre p de Riemann, d'après la remarque que nous venons de faire. J'indiquerai, dans la dernière section de ce Chapitre, comment Weierstrass établit l'existence de ce minimum.

Si l'on a p -+- 1 points arbitraires, on pourra obtenir une fonction F n'ayant d'autres pôles que ces points. Les a seront alors déterminés (ou du moins leurs rapports) par les équations écrites plus haut.

Il est facile déformer effectivement une fonction ayant p -+- 1

pôles arbitraires. On peut, en effet, faire passer par p -f- 1 points

arbitrairement donnés une adjointe d'ordre m — 2, soit P (#, y) ;

elle rencontrera la courbe, en dehors de ces points et des points

multiples, en

autres points. Par ces derniers, on peut au moins faire passer deux adjointes distinctes d'ordre m — 2, comme le montre de suite le dénombrement des conditions. Prenons l'adjointe P(j*,jK)pour l'une d'elles, et désignons par P, (x, y) la seconde, le quotient

Pi(*>.r)

a pour pôles lesp -f- 1 points primitivement donnés.