II. — Théorème de Riemann-Roch. Des fonctions spéciales

4. Nous allons maintenant approfondir l'étude des relations (4) pour résoudre le problème suivant, qui est fondamental dans la théorie des fonctions algébriques :

Etant donnés ]x poùits sur une surface de Riemann, de combien de constantes arbitraires dépendent les fonctions ration-

FONCTIONS UNIFORMES SIR UNIS SURFACE DE RIEMANN. 5lQ,

nelles qui n'ont d'autres pôles (supposés tous simples) que ces u. points ou quelques-uns d'entre eux ?

La recherche de ce nombre reviendra à la discussion des équations (4), que j'écris de nouveau

Si les premiers membres de ces p relations, regardés comme fonctions linéaires et homogènes de a,, a2, . . . , aM, sont linéairement indépendants, on pourra tirer de ces équations p des lettres a en fonction des jjl — p auires, et, par suite, l'expression générale (3) de F renfermera

constantes arbitraires. Ce résultat est dû a Riemann ; il convient en quelque sorte au cas général. 11 est facile de le compléter, de manière à voir un énoncé applicable à tous les cas, comme l'a indiqué Roch (l).

Supposons que, parmi les polynômes (4) du premier degré en a,, a2, . . . , oejj, il y en ait seulement p — <7 linéairement indépendants. On pourra exprime!- alors a- d'entre eux en fonction des p — g- autres : soit les t derniers en fonction des p — a premiers. On aura ainsi les identités

Qz-wCêa, n*) = f*i Qi(Ç/o T)k) -+-••• h- py-a Qp-<r(tk, i*) r n. , lA

où / . ;/ v sont des constantes ne changeant pas avec /,-.

Or ces relations montrent que les t courbes adjointes d'ordre m — 3,

H, '•/', y) = Qr-i+i(x, y)- \iQi(*,y) — ■••— }v t(.V t'-**. r),

R(r(*, ,r)= QptojO ■'« Qi(*i r ) — •••— 'V »Qj» t'-7'-.1'), passenl par les u points considérés «le la surface de Riemann. ( les

(' R Journal de C relie, t . 64.

cr polynômes adjoints sont d'ailleurs bien évidemment, par leur forme même, linéairement indépendants. On voit donc qu'il y aura t polynômes adjoints d'ordre m — 3 linéairement indépendants s'annulant pour les [x points. Il n'y en aura pas davantage, car, dans cette hypothèse, on aurait un polynôme

où les constantes A ne seraient pas toutes nulles, qui s'annulerait pour (£,, ri,), . . . , (^, t^). Il s'ensuivrait

AiQi(Ça, *u-)+...-h AA,(TQ^.ff(ÇA., ï)*) = o (k = i, 2, ..., p.).

On conclut de là qu'un des polynômes Q, , Q2, . . . , QP-a pour (£*> "Oa) , soit par exemple le dernier, s'exprimerait, quel que soit k, par une même combinaison linéaire des autres. Les expressions

Qp-a(. b, *u), Q^-ff+i ( ?*, n*)j • • • 5 Qp(ç*> »)*)>

pour /c — i , 2, ..., ku, s'exprimeraient par des combinaisons linéaires de

Qi(Ç*,.îî*)j • •■, Qp-g-id*- *;*),

et, par suite, il y aurait moins de p — <j polynômes (4) linéairement indépendants.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante : Si, par les a points donnés, on peut faire passer un faisceau de courbes adjointes d'ordre m — 3 renfermant (d'une manière homogène) a- constantes arbitraires, les équations (4) se réduiront à p — c d'entre elles, et, par suite, parmi les constantes

ai, a2, . . . , ajj-,

p — - o- pourront s'exprimer à l'aide des autres. Le nombre des constantes arbitraires figurant dans F sera donc

[jl — (p — cr)-+-i ou \x — p -+- i -+- a,

en tenant compte de la constante a^+1 : c'est le théorème généralement désigné sous le nom de théorème de Riemann-Roch.

On remarquera que, parmi les constantes a, il peut y en avoir de nécessairement nulles, comme conséquence des équations (4)« La fonction, dont nous venons de trouver l'expression générale

et de dénombrer les constantes arbitraires, aura alors moins de u, pôles ; aussi avons-nous eu soin d'indiquer dans renonce du problème de Riemann-Roch que la fonction cherchée avait pour pôles les |jl points donnés ou quelques-uns d'entre eux.

o. Lorsque le nombre cr n'est pas nul, le nombre u des points est évidemment au plus égal à

ip — 2,

puisqu'une adjointe Q d'ordre m — 3 rencontre la courbe f seulement en i p — 2 points en dehors des points multiples. Le degré de la fonction est alors au plus égal à 2 p — 2. Quand 1 est différent de zéro, nous dirons que la fonction F est une fonction spéciale,

Nous allons établir que toute fonction spéciale peut se mettre

sous la forme -jjyj Q et Q, élant deux polynômes adjoints d'ordre

Soit, en effet, Q (jc, y) un polynôme adjoint d'ordre m — 3 s'annulant pour les pôles de la fonction F. Envisageons l'intégrale

QF dx m

le produit QF reste fini pour Les pôles de F; d'autre part, pour le poinl à l'infini sur chacun des feuillets, il est infini de l'ordre de ./■'" ' . On voit donc que l'intégrale précédente restera finie sur toute la surface de Riemann. On a par Miite

o, étanl encore un polynôme adjoint d'ordre m — 3. Cette démonstration si simple esl due à M. Klein (■) Il <^i bien clair que, inversement, t ou 1 quotient de deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 est une fonction spéciale, puisque, pour ce quotient, 7 esl au moins <-u;<l à L'unité.

(') Voir les Leçons de M. Klein Sur la théorie des fonctions elliptiques modulaires, t. I. J.<- troisième Chapitre esl consacré a un exposé général de la théorie des fonctions algébriques ; l'étude de * *• t te large esquisse ne saurait être n op 1 <■' ommand<

6. MM. Brill et Nother ont complété le théorème de Puemann- Roch en indiquant une loi de réciprocité, relative aa cas où p n'est pas nul, que nous allons maintenant faire connaître (1). Considérons une fonction spéciale avec les pôles

ci? £2, • • • , Éfi,;

par ces 11 points passent cr courbes Q linéairement indépendantes, soit

Qi, Q», ..-, Q*.

Une de ces courbes, la première par exemple, rencontrera, en dehors des points multiples, f en ul' autres points

Cl, Wi •••> £$l' (f^+ {X'= ip — 2).

Formons le quotient

^ Qi -f- c2Q2 + . ..+ CçQv

où les c sont des constantes arbitraires. Cette fonction co ne peut devenir infinie qu'aux points Ç. Or la fonction uniforme la plus générale ne pouvant devenir infinie qu'aux points Ç contient,

d'après le théorème de Riemann-Roch,

constantes arbitraires, en désignant par <j' le nombre des courbes adjointes d'ordre ni — 3 linéairement indépendantes passant par les points Ç. On a donc, puisque o contient <r arbitraires,

Mais, en partant des points Ç, on pourrait raisonner comme nous l'avons fait en partant des points Ç, en considérant la fonction

T" Qi

et en désignant par Q1? Q'8j ..., QJ./ les a-' polynômes adjoints d'ordre m — 3 s'annulant aux points Ç. On aurait alors

(l) Brill et Nother, Math. Annalen, t. VU.

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 5ï3

Des deux inégalités précédentes, on conclut

a -h cr'£ a -+- a'.

Il faut donc que les deux inégalités (5) et (6) soient des égalités, et, par suite,

a' = ta. — /) + a +i,

ce qui revient à l'unique relation

m a — a') = fx' — \x.

C'est la loi de réciprocité de Brill et Nôther.

Des relations ainsi obtenues, on peut déduire le théorème démontré dans le paragraphe précédent. La relation

montre que la fonction ©' est la fonction la plus générale ayant pour pôles les points Ç ou une partie d'entre eux : toute fonction spéciale est donc bien un quotient de deux polynômes adjoints d'ordre m — 3.

7. Le degré d'une fonction spéciale est au plus égal à i p — 2. Il n'est pas inutile de montrer c^u il peut effectivement atteindre cette limite. Ceci revient à dire qu'il n'y a pas, en dehors ai s points multiples, de points par lesquels passent toutes les adjointes d'ordre m — 3 : ce que nous avons vu précédemment (Chap. \JV, S 11).