III. — Des transformations birationnelles des courbes

en elles-mêmes.

8. Avant d'étudier les transformations birationnelles d'une courbe en une autre combe, comme nous le fêtons dans la section suivante, arrêtons-nous sur les transformations birationnelles d'une courbe en elle- même. I ne courbe

admettra une transformation birationnelle <-n elle-même w,

5i4 CHAPITRE XV.

posant

P et R étant des fonctions rationnelles de x et y, le point (#', y') décrit la courbe f quand (#, y) la décrit lui-même et que, de plus, on puisse tirer de ces deux équations

x^P^x'.y'), y=Ri(x')y'),

Pi et R, étant encore rationnelles, en tenant compte, s'il est nécessaire, des relations f (#, y) = o etf(x',y') = o.

Un cas intéressant est celui où la transformation précédente dépend d'un paramètre arbitraire. Schwarz a montré (') que les courbes du genre zéro et du genre un sont les seules qui puissent être transformées en elles-mêmes par une substitution birationnelle renfermant un paramètre arbitraire.

Je vais démontrer le théorème de Schwarz en suivant la voie qui m'a servi à établir une proposition analogue pour les surfaces algébriques (2). Soit

la transformation birationnelle où nous mettons en évidence le paramètre t dont P et R sont des fonctions analytiques d'ailleurs quelconques. Considérons p intégrales distinctes de première espèce

Qi(x,y)d.r r QP(x,y) dx (p > i),

fQx(x,y)dx f

fy

en supposant la courbe de genre supérieur à un.

L'élément

^{x',y')dx'

Ty '

quand on remplace x1 et y' par leurs valeurs (8) en x et y, prendra

( ' ) Schwarz, Journal de C relie, t. 87.

(2) 12. Picahd, Mémoire sur la théorie des fondions algébriques de deux variables indépendantes (Journal de Mathématiques, Chap. III, 1889, et Comptes rendus, 1886).

la forme

Ql(x,y)dx Qp(x,y)dx

Al -r, h . . . -+- Ap — >

Jy Jy

puisqu'une intégrale de première espèce doit nécessairement, après la transformation, rester encore une intégrale de première espèce. Ecrivons donc

Qtix', y')dx' Q1(x,y)dx Qp(x,y)dx (9) y1 = x T' h* * " ' T' *

Les coefficients A, qui sont des constantes par rapport à x et y, pourraient a priori être des fonctions du paramètre £, mais nous allons montrer qu'ils n'en dépendent pas. On le verra tout de suite par la considération des périodes. Donnons en effet à t une valeur arbitraire, mais fixe, et faisons décrire un cycle au point (#, y), auquel correspondent pour les p intégrales envisagées les périodes

le point (x1, )') décrira aussi un cycle, et soit io\ la période correspondante évidemment indépendante de /. On aura donc

(0 \ = A ! 10 i -+- A 2 W 2 -+" • • • "+• Af, U)p.

En faisant décrire à (x, y) (]> — i) autres cycles, nous obtiendrons p — i autres équations de cette forme, et, comme on peut toujours -upposer les p cycles tellement choisis que le déterminant des périodes correspondant à ces p cycles soit différent de zéro ( on pourra prendre par exemple les cycles correspondant aux périodes relatives aux coupures C), on voit que les quantités A se trouvent complètement déterminées par des relations où ne figure pas !<■ paramètre t : elles sont donc indépendantes de i e para un- lie.

( )n aura <le même

Qt(x\ y')dx' Qt(x,y)dx Q,,(x.y)d.r

<lO) y, = 15 1 j-, H . . .-+- 157, -j ,

Jy' Jy Jy

!«•■> coefficients B étant aussi indépendants <!<• /. De (g) et (10 . on conclut

I | '*',/) A1Q1(.r,r)-h...-4-A;>Q/,(^,r) Qt(^, f) " B, Q!(ar, y) -*-. . .+ Bp Q, *, y) '

Or une telle égalité amène à une contradiction, car elle établit entre (x,y) et (a?', y') une relation où ne figure pas de paramètre arbitraire. A tout point (#, y) de la courbe ne pourrait correspondre alors qu'un nombre limité de points {x\y') de cette même courbe, tandis que, par les relations (8), le point (x'7y') varie d'une manière continue avec t, quand (#, y) reste fixe. L'hypothèse p >» i est donc impossible, et le théorème est établi.

Le point capital dans la démonstration précédente a été de montrer que les coefficients A ne dépendent pas de t : c'est ce que nous avons montré plus haut, en considérant les périodes. On peut y parvenir par une autre voie.

Reprenous la substitution

Les coefficients figurant dans les fonctions rationnelles P (#, y) et R(^j y) sont, avons-nous supposé, des fonctions d'un paramètre ; mais, d'autre part, ces coefficients seront nécessairement des fonctions algébriques d'un ou de plusieurs d'entre eux restant arbitraires ; désignons ceux-ci par la lettre 9. Dans ces conditions, reprenons l'équation

Qi(V, y') dx' QiQ, y) dx Q;>(^ f) dx \

f~> — Ai 77 + • • ■ + Ap 77

Jyi Jy Jy

les A vont être des fonctions algébriques des quantités 9. Or je dis que ces fonctions doivent être des constantes. Ecrivons, en effet, la relation précédente sous la forme

Qi(a?\ y') dx' ^ A f ,y Q,-(a?, y) dx

<r: v'. -J'y' ~ Jx.

(x'0l y0) correspondant à (x0, y0). Ceci posé, laissons (%,y) fixe ainsi que (#0, y0) ; le second membre va être une fonction algébrique des 9 ; si cette fonction ne se réduit pas à une constante, elle deviendra infinie pour certaines valeurs des G ; or cela est impossible, car le premier membre est une intégrale de première espèce, et, de plus, x' et y1 étant aussi des fonctions algébriques des 9, le point analytique (x',y') ne décrit pas une infinité de cycles avant d'arriver aux limites de l'intégration correspondant

à des valeurs des 9 qui rendraient infini le second membre. L'expression

f''yQl(x,y)dx fx>yqr(x,y)dx

ne dépend donc pas de 9 ; c'est donc une intégrale fixe de première espèce, attachée à la courbe

par suite les coefficients A doivent eux-mêmes séparément être indépendants de 9 ; ce qui nous donne de nouveau le résultat annoncé.

9. La démonstration qui vient d'être donnée du théorème dé Schwarz permet d'établir immédiatement une proposition énoncée, je crois, pour la première fois par M. Klein : Peut-il arriver qu'une courbe de genre supérieur à l'unité admette une infinité discontinue (*) de transformations birationnelles en elleraême? La réponse est encore négative, et l'on peut la légitimer en adoptant la voie que j'ai suivie pour établir (loc. cit.) un théorème analogue relatif aux surfaces (2). Supposons que nous ayons une courbe admettant une infinité de transformations birationoelles en elle-même. Prenant une quelconque de ces transformations

et opérant comme plus haut, nous serons conduit à une relation <l<- la forme (n). Toutes les transformations qui transforment la courbe en elle-même doivenl donc être données par une relation de cette forme où l'on donne aux constantes \ et B des valeurs convenables. Or, partant a priori <le cette équation (i i), nous pouvons (lien her a quelles conditions elle définira une correspondance birationnelle entre (x,y) et (x'y y'). Ces conditions

(') Nmis entendoM, par unr infinité discontinue, <li si transformation- en nombre înflni ne dépendant pai de param< très •rbitrain (7) Voir -• ii «= — t K. Picard, Sur les trtme/or mations birationnelle» de* courbée briquet en elles-rnétnet [Bulletin <i< i<i Soi iété wuUkématkique, t. \XI).

établissent évidemment un certain nombre de relations algébriques entre les A et les B Alors, de deux choses l'une : ou bien ces relations déterminent un nombre fini de valeurs de A et B, et il n'j a dans ce cas qu'un nombre limité de transformations de la courbe en elle-même ; ou bien une ou plusieurs des quantités A et B restent arbitraires, et alors la courbe admet une transformation birationnelle renfermant un paramètre arbitraire. Or cette dernière circonstance est impossible si le genre est supérieur à un. Il ne peut donc y avoir pour les courbes de genre supérieur à un qu'un nombre limité de transformations birationnelles de la courbe en elle-même (').

10. Il est facile de voir que les courbes de genre zéro et un admettent une suite continue de transformations birationnelles en elles-mêmes. La chose est évidente pour les courbes de genre zéro pour lesquelles on peut, comme on sait (2), exprimer x et y en fonction rationnelle d'un paramètre 9 et de telle manière qu'à un point arbitraire de la courbe ne corresponde qu'une valeur de 9. Soient donc

en remplaçant U par — - — -, ou a, 6, c, a sont des constantes quelconques, nous aurons

rfa6 + 6\ , /«O-hft-.

c^-v-dr J r\cQ-{-d

et il est manifeste qu'il y aura entre (x, y) et (#', y') une correspondance birationnelle dépendant de trois paramètres arbitraires. Passons aux courbes de genre un. Cette courbe, supposée de

degré m, a alors

points doubles. Marquons sur la courbe m — i points A en dehors

(!) L'étude des courbes de genre supérieur à l'unité admettant un nombre fini de transformations birationnelles en elles-mêmes a été faite d'une manière très complète par M. Hurwitz {Math. Annalen, t. XLl).

(2) Ce théorème élémentaire sera établi au Chapitre XVII.

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 5ig

des points doubles (1). Par ceux-ci et les points A, on peut faire passer un faisceau d'adjointes d'ordre m — 2 dépendant d'un paramètre arbitraire, puisque

m (m — 3 ) ( m — 2 ) ( ni -+- 1 )

Soit (12) |»,4-XP2=o

l'équation de ce faisceau où X est un paramètre arbitraire. Le nombre des points de rencontre variables des courbes de ce faisceau avec la courbe est

m (ni — 2) — ni (m — 3) — (m — 2), c'est-à-dire 2.

Ces points sont certainement tous deux mobiles avec A. L'un de ces points peut en effet être choisi arbitrairement puisqu'on peut choisir A de telle manière que la courbe (12) passe en un point arbitraire, et le second point ne peut pas être indépendant de X, car alors la courbe serait unicursale.

(lette remarque faite, les deux points (a?, y) et (#', y) de rencontre variables avec A se correspondent uniformément, et cette correspondance définit par suite une transformation hirat tonnelle de la courbe en elle-même. Or cette transformation dépend de la position des points A bases du faisceau (12). Supposons que parmi ces points un seul varie, soit A, ; on voit de suite que la correspondance entre (oc, y), (i',j') varie aussi, sinon nous aurions un faisceau de courbes d'ordre m — 2, passant par les points fixes (x,y), (x',y') et les points A2, . ..,A,„2, qui aurait le seul point de rencontre mobile A,, et la courbe serait unicursale.

Nous avons donc formé, pour la courbe de -cure un considérée, une transformai ion bi rationnelle dépendant d'un paramétre arbitraire. Ajoutons quelques remarques importantes, décris la transformation sous la forme

(') .Nous faisons l'hypothèse que la courbe .1 seulement des points doubles uni quemeot pour simplifier les calculs.

tli AMI). II. -Il

53o CHAPITRE XV.

laissant en évidence les coordonnées (xiyy<) du point que nous avons désigné par A,. En prenant (x[ y\) à la place de (x{, y,), on aura

et de ces deux transformations résulte une transformation Irrationnelle entre (x\ y') et (x\ y"). On peut la regarder comme une transformation dépendant d'un paramètre arbitraire (x\, y\), et, pour une certaine valeur de ce paramètre (x\ = xt, y\ —y{), elle se réduit à la substitution identique. Nous pouvons donc, supprimant maintenant un accent, former une transformation birationnelle de notre courbe

dépendant d'un paramètre arbitraire t et se réduisant, pour une certaine valeur de t, soit £0, à la substitution identique

Or prenons l'intégrale de première espèce : en raisonnant comme plus haut, nous avons

Q(x,y)dx Q(x\ y') dx'

A ne dépendant pas de t. Or, pour t = t0, onay = j,j' =y\ donc A — i ; nous pouvons donc écrire

Q(x, y)dx ÇKx\y')dx' fy " 7P '

et la transformation (i3) donne l'intégrale générale de cette équation différentielle, t étant le paramètre arbitraire. On peut encore dire que la relation algébrique (i3) équivaut à la relation transcendante

Çx>*(l(x,y)dx = rx'>>'Q(x',y')dx' [ ^

Jro,y0 fy Jx0,yo fy'

où h est une constante arbitraire. Dans le cas de l'intégrale elliptique, l'équation différentielle que nous venons ainsi d'intégrer est la célèbre équation d'Euler.