x — ay~-h (y— bf

En supposant le point A (a, b) à l'intérieur de l'aire, décrivons, de A comme centre, avec un rayon p, un cercle T, et appliquons la formule de Green aux deux fonctions V et log r pour l'aire limitée par les courbes C et T. Il vient ainsi

dV dlogr .

dn dn '

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. l5

l'intégrale étant prise le long du contour total. Les dérivées suivant les normales, qui figurent dans cette intégrale, sont prises suivant la normale intérieure à l'aire. Si donc on veut considérer, pour la courbe T comme pour la courbe C, les normales intérieures à la courbe géométrique elle-même, on devra écrire

Cette dernière intégrale est facile à calculer. La première partie / lo^r-f— as = logp / - — as

est nulle d'après la relation (3). D'autre part,

c/logr i dr 1

-^^ = 7^=-rC"S('''")'

en employant les mêmes notations qu'au Tome I (p. 170) : or, sur

la circonférence,

cos(r, n) = t;

doue l'intégrale du second membre se réduit à

V ds.

Elle doil être indépendante du rayon p du cercle F : or, pour p très petit, elle diffère très peu de

V(rc, b) désignant la valeur de V en A); elle est donc rigoureusement égale à (•cite quantité, et l'on a la formule fondamentale

l, I T/i dV ^d\osr\ ,

Vf.1*)--jfa(togra?-V-aJ )d..

11. I);m^ l<- ci s où le contour ( ! se réduit à un cercle, <>n peul transformer l'intégrale donnanl V (a, b) <in une autre, qui ne cod tu nne |>ln> que \ . (] est \,\ même transformation que nous avons faite i. I, p. \-()). Employant 1rs mêmes notations, nous aurons

l6 CHAPITRE I.

les deux relations

i /Y, d\ xrd\ozr \ ,

i /*/. dV 6/logr^

'2 ir Jc \ dn dn )

Il suffira de retrancher ces deux formules pour avoir

puisque — est constant pour tous les points du cercle. Des deux relations (loc. cit.)

r- = R2-hr9- — 2Rr cos?, /f = R*-f-rf— -iRr, COS©i,

on tire de suite la valeur de

d\ogrx <ilog;*

c'est-à-dire de

COSCp COSCpi

en se rappelant que

llt= R2 et - = i. , rx R

On trouve ainsi

("'ô) = Wr R7^

formule qui donne, dans le cas du cercle, la valeur de la fonction V en un point (<z, b) quelconque du cercle en fonction de ses valeurs sur la circonférence.

Si nous introduisons les coordonnées polaires (/', <p) du point (a, b) (on fera attention que r êtes n'ont pas la même signification que précédemment et que r notamment remplace /), la formule précédente pourra s'écrire

i r27Z Vf R2— rM

(4) V<a, b)=— DV' " j.,, , „,<%

vf M i r v(R2-

l"'' j ' 2 7cJ0 R2-2Rrcos(4;

Cp) + A

Nou> avons déjà étudié l'intégrale précédente (t. I, p. 3ii) sous le nom à' intégrale de Poisson ; nous avons seulement fait R=z i , ce qui, à cause du degré zéro d'homogénéité de l'intégrale en R et /\ n'a aucune importance.

12. De l'expression (4) de la fonction V on conclut d'abord (Mie. si une fonction harmonique bien déterminée etcontinue pour toute valeur de x et )' reste toujours moindre, en valeur absolue,

qu'une quantité fixe M, elle doit nécessairement se réduire à une constante. On a, en effet, en désignant par V0 la valeur de la fonction à l'origine, et quel que soit le rayon R /• du cercle C,

w„.é)-v„=-L r%,-v- RcoRs(*7.?)~^ .

2 7r ,/ R 2 ■?. r R cos(iy — ? ) -+- r-

K cos (<l — cp) — r R2— ■>. R r cos ( ^ — cp) -+- r

( )n aura donc

est moindre en valeur absolue que

^>>>-^<rj'*^\T^<*<%

Or R est aussi grand (pie l'on veut ; par suite, La quantité fixe | V (a, b) ■ V0 I est rigoureusement nulle.

Nous retrouverons plus tard cette propriété, sous le nom «le théorème de Lio avilie^ à propos d<-s fonctions d'une \ ;» lia l »l< • complexe.

13. I h" autre propriété très importante de la fonction harmonique résulte encore de l'intégrale précédente.