IV. — Des classes de courbes algébriques. Courbes normales

11. Riemann a introduit dans la Science l'importante notion de classes de courbes algébriques.

Deux courbes algébriques,

sont dites appartenir à la même classe quand elles se correspondent point par point, c'est-à-dire, comme nous avons déjà eu l'occasion de l'indiquer, quand on a entre les points des deux courbes la correspondance

y= Hi(^,7),

R et R, étant rationnelles en x et y, et qu'inversement ces relations peuvent s'écrire, en tenant compte des équations des courbes,

x = p (*vy),

^ = Pi(*',/),

I' el \\ étant encore rationnelles en x' et y'.

Faisons d'abord la remarque capitale que toutes les courbes d'une même classe sont de même genre. On le démontrera tout de suite en considérant que toute intégrale de première espèce de F se transforme en une intégrale de première espèce de / et inversement; le nombre de ces intégrales linéairement indépendantes est donc le même pour les deux courbes, ce qui revient à dire qu'elles sont du même genre.

On a cherché les courbes les plus simples que Ton puisse considérer comme les représentants d'une classe de courbes algébriques. Le problème u'esl évidemment pas déterminé | tout dépend de l'idée que l'on veul se faire de la simplicité d'une courl aussi a-t-il été traité dans des directions différentes. Nous commencerons par l;i transformation, étudiée d'abord, quoique «l'une manière trop sommaire, par Clebsch et Gordan (r).

('; ' R el Goidak, Théorie der ibelsehen Functionen, p

53z CHAPITRE XV.