Nous partons de la courbe algébrique

de degré m et de genre p au moins égal à trois. Prenons sur elle p — 3 points arbitraires ; on pourra faire passer par ces points un réseau

04) aiQi + a2Q2-H a3.Q3= o

de courbes adjointes d'ordre m — 3, puisqu'une adjointe de cet ordre est déterminée par/? — i points arbitraires. Faisons alors la

transformation

Y = QaQ, r), " Qi(^r)'

A la courbe / va correspondre une courbe

Ces courbes, en général, se correspondront point par point. Dans quels cas pourrait-il en être autrement? Il faudrait qu'à tout point (X, Y) de F correspondissent au moins deux points de /, et, par suite, que les deux adjointes

XQi(*,>) — Q«<*,>) = o,

YQiO>.r) — Q3O, y) = 0,

où X et Y désignent des constantes aient, dès qu'elles ont un point commun avec /, au moins un autre point commun (en dehors des points multiples et des y? — 3 points bases du réseau).

Ceci revient à dire que toutes les adjointes du réseau (i4) qui passent par un point d'ailleurs arbitraire de /ont nécessairement au moins un autre point commun sur f. Nous verrons dans un moment que cette circonstance ne peut se rencontrer que pour une famille particulière parfaitement caractérisée de courbes de genrep que Ton appelle courbes liyperelliptiques. Sous le bénéfice de ce résultat supposé acquis, nous pouvons dire que les courbes f et F se correspondent point par point, si la courbe f n'est pas hyperelliptique.

Cherchons quel sera le degré de la courbe F. Les intersections

d'une droite quelconque

AX+BY + C = o

correspondront aux points de rencontre de la courbe A Q2(.r, y) + B Q3(x, y) + G Q±(x, y) = o

avec/*, en laissant de côté les points multiples et les p — 3 points bases du réseau. Nous aurons donc un nombre de points égal à

ip — i — (p — 3) ou /> -f- 1 .

Le degré de la courbe F est donc égal à p -f- i . On peut, donc faire correspondre point par point toute courbe de genre p à une courbe de degré p -f- 1 , sauf le cas exceptionnel réservé.

La courbe F aura des points doubles provenant des solutions distinctes (x, y), (oc1 ', y') des deux équations

QiO,.r) = Q-2(^r) QsQcr) Qi<>',y) " Q?(*',y) Q3(*',/)'

L'étude de ces deux équations ne présente pas de difficultés, mais il est inutile de la faire; car le nombre des points doubles est immédiatement déterminé, puisque le genre de F est égal à/?, les deux courbes f et F se correspondant point par point. Le nombre o de ces points doubles sera donc donné par l'équation

P(P—1) ft 5, />(/>—{)