P OU

13. Nous devons maintenant faire l'étude approfondie du < ias exceptionnel où la transformation (i5) n'est pas birationnelle. Dans ce cas, toute courbe du réseau (i4) qui passe par un point de/ passera nécessairement par un ou plusieurs autres points ; <>u bien encore, toutes les adjointes passant par/? — 2 points arbitrairement choisis svltJ rencontreront encore cette courbe en un ou plusieurs autres points fixes (sans parler, bien entendu, des points m m II iples).

Soient A, . \2, . . . , A/7 2 les p — 2 points arbitrairement choisis. Plusieurs circonstances pourraient, a priorii se présenter (').

( ' ; On n'a jamais | » ■ i — - , que je sache, la peine <!»• faire la discussion «un- noua croyona indiapensable d'effectuer pour être complètement rigoureux, il semble

Admettons d'abord que toutes les adjointes" passant par les A aient encore un point fixe commun B ; les coordonnées de ce point unique B seront des fonctions rationnelles des coordonnées de A<r A2, . . . , A7,o, et la position de B dépendra de tous les points A ; car, si elle dépendait seulement de quelques-uns d'entre eux, soit tu, les adjointes considérées auraient plus d'un point fixe commun (elles en auraient autant qu'il j a de combinaisons de p — 2 lettres p. à {/.). On aura donc, en désignant par (X, Y) les coordonnées de B,

X = P.(<ri, jK|, x%, y2, . . ., x-p-%, yP-2), Y — R(xu yu x2, y2, •••, xp^2, yp-2),

P et R étant rationnelles, et x^ yi désignant les coordonnées de A/.

Il y a d'ailleurs évidemment réciprocité, c'est-à-dire que l'on aura

yi=* R(X, Y, a:,, J2, •-., ^-2.^-2)-

En considérant x2l ..., ^^2 comme des paramètres variables,, nous avons donc une transformation birationnelle entre

(xuyx) et (X,Y).

La courbe admettra donc une transformation birationnelle dépendant de paramètres arbitraires, ce qui est impossible d'après ce que nous avons vu dans la section précédente. L'hypothèse faite du point unique B est donc à écarter.

Supposons donc que nos adjointes passent par k points (k ^> î). Les positions de ces k points ne pourront pas toutes dépendre à la fois des positions des A ; car, si l'on fait passer une adjointe par p — i points a arbitraires, on aurait, en considérant successivement cette adjointe comme passant par les p — i groupes de p — 2 points formés par les a,

qu'on ait toujours admis a priori que, dans le cas où la réduction à une courbe normale d'ordre p -+- i n'est pas possible, toute adjointe d'ordre m — 3 passant par un point passe nécessairement par un ou plusieurs autres (voir, par exemple, Brill et Nother, Math. Annalen, t. VII, p. 286).

points distincts par lesquels elle devrait passer, ce qui est impossible, puisque k^>\. Les A points se partagent donc nécessairement en groupes de k' points dépendant des positions d'un certain nombre A( K <C p — 2) de points A. Ainsi nous sommes amené à l'hypothèse que toutes les adjointes passant par A points Q<ip — 2) de / auraient en commun encore /, ' points, qui tous dépendent des X points considérés. Or envisageons encore, comme plus haut, p — 1 points a arbitrairement choisis et une adjointe passant par ces points, on aura, en regardant successivement cette adjointe comme passant par les groupes de X points formés par les a,

points disti?icts (') par lesquels elle devra passer. En y ajoutant les p — 1 points a, on devra avoir

or cette inégalité ne peut avoir lieu que si

Ces relations sont capitales pour nous. Elles montrent que, dans le cas exceptionnel dont nous faisons l'étude, toutes les adjointes d'ordre m — S passant par un point passent nécessairement par un autre point, puisque à chacun des points A correspond un point dont la position dépend de ce point seulement. Le nombre désigné plus haut par k est manifestement égal à p 2.

1 i. Nous pouvons maintenant caractériser très nettement la classe de courbes pour Lesquelles la réduction à une combe de degré p -l- 1 d'après l.i méthode du n° 12 est impossible! Si C désigne une telle courbe, prenons, sur C, p — 2 points fixes d'ailleurs arbitraires; toutes les adjointes passant pur ces points passent par p - 2 autres points fixes d'après a- (pic nous venons

(') ils sont distincts, puisque les 1 ion! irbitraires et que chaque groupe de k' points dépend <i<- tous les ) points qui !<■ définissent.

de dire : il restera donc seulement deux points mobiles de rencontre. Soit

(16) QI-hXQ2=o

l'équation du faisceau considéré des adjointes. Les coordonnées x et y des points de rencontre seront données par une équation du second degré ; on aura, par suite, pour x et y des expressions de la forme

<r = R [x, /PÔ]],

R et R, étant des fonctions rationnelles de A et de y P (A), en désignant par P(a) un polynôme en A qu'on peut supposer n'avoir que des racines simples , après avoir fait sortir du radical les racines multiples. Les deux déterminations du radical correspondent aux deux points de rencontre de la courbe proposée f avec le faisceau (16). Il en résulte qu'à un point arbitraire (x,y) de f

correspond une valeur de X et de \/P (X) ; nous pouvons donc dire que la courbe f correspond point par point à une courbe entre \ et \k de la forme

On donne à une telle courbe le nom de courbe hyperelliptique ; aussi la classe de courbes qui nous occupe peut-elle prendre ce nom.

lo. Nous avions fait, dans le Tome I (p. 60), l'étude des intégrales abéliennes relatives à une courbe

(17) jK2=PO).

On a vu que les cas où P (x) est de degré ip + 2 et 1 p -\- 1 se ramènent immédiatement l'un à l'autre. En supposant que P(#) soit de degré 2/?-f-i, nous avons montré qu'il j avait p intégrales de première espèce pour la courbe (17); ce sont les intégrales

xk dx . . .

fî\x) Nous pouvons donc dire que la courbe (17) est de genre p. Si

nous revenons à la relation

du paragraphe précédent, nous pouvons déterminer tout de suite le degré de P()»). La courbe/ et la courbe précédente se correspondant point par point, les courbes seront du même genre, et le degré de P(X) (dont toutes les racines sont simples) sera égal à 2J) -\-ï ou à 2/? + 2.

Il est facile de vérifier, pour la courbe (17), la propriété des adjointes, dont nous avons parlé plus haut, relative aux courbes hyper-elliptiques. Les courbes qui remplacent ici les adjointes d'ordre m — 3 sont les p — 1 droites représentées par l'équation

AqxI'-i -h.v-h kp~i = o,

les A étant des constantes arbitraires, comme le montre la forme ci-dessus des intégrales de première espèce. Les 2p — 2 points de rencontre mobiles d'une adjointe avec la courbe, qui jouent dans la théorie le rôle essentiel, sont les points de rencontre des p — 1 droites précédentes avec la courbe. On voit que les points se correspondent deux à deux, puisque à un point de rencontre (x, >') correspond nécessairement le point (x, — y).