La courbe hyperelliptique

de degré 2/7 + 1 ou 2/7+2, que nous venons de faire correspondre uniformément à la courbe y de là classe hyperelliptique, n'est pas la courbe du plus bas degré que nous puissions indiquer. i adjointes d'ordre m — 3 ne pouvant conduire, dans ce cas, à une transformation bi rationnelle, employons «les adjointes d'ordre m — 2 : ces courbes <>nt avec /

points de rencontre, en dehors de% points multiples. Si nous les assujettissons à passer par ///+/> — j points pns arbitrairement sur la courbe, nous aurons an réseau à trois paramètres

et les points de rencontre mobiles seront au nombre de

Posons alors

Y Psi*, y)

La courbe f se transformera en une courbe F, et les deux courbes se correspondront point par point. Pour établir en toute rigueur cette correspondance birationnelle entre f et F, il faut montrer que toutes les adjointes d'ordre m — 2 passant par m-\-p — 3 points quelconques ne passent pas par un ou plusieurs autres points.

Or cela est impossible ; car prenons p -f- 1 points arbitraires A1; A2, ..., A^,, et faisons passer par ceux-ci une adjointe d'ordre m — 2 ; elle rencontrera la courbe en dehors de ces points et des points multiples en m -\- p — 3 autres points, que nous désignerons par B. Si toutes les adjointes d'ordre m — 2 passant par les B passent par un ou plusieurs autres points fixes, ceux-ci devront être compris nécessairement parmi les points A, et, en prenant alors une adjointe P{ (#, y) distincte de l'adjointe P {%,y) dont nous sommes parti, le quotient

Pi(g,,r)

n'aura pas pour pôles tous les points A, mais seulement quelques-uns d'entre eux. On aurait donc une fonction ayant moins de p -+- 1 pôles arbitrairement choisis, ce qui est impossible.

Le degré de la courbe F est égal à p -h 2, puisque le réseau (18) rencontre la courbe en p -f- 2 points mobiles.

Nous n'avons pas supposé jusqu'ici, dans ce paragraphe, que la courbe fût hyperelliptique. Si nous revenons à cette hypothèse, nous obtiendrons une courbe particulièrement remarquable en procédant de la manière suivante. On prend m — 2 des m -f- p — 4 points bases du réseau ( 18) en ligne droite. Par les p — 2 autres points on peut faire passer deux adjointes distinctes Q< et Q2 d'ordre m — 3, et ces courbes du réseau Q,-(-XQ2=o ont seu-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SUKFACE DE RIEMANN. 53g

lement deux points de rencontre mobiles avec A. Posons alors

piOï y) = (a* -+- b y +- c) Q\(x, y), V%(x, y) = (ax -±- by +- c) Q2(x, y),

en désignant par ax -+- hy -f- c = o la droite des m — 2 points. Parmi les p -\- 2 valeurs de (oc, y) correspondant à X, deux seument varient avec X, et les valeurs de Y correspondant aux p autres sont infinies. 11 ne correspond ainsi que deux valeurs finies de Y à une valeur arbitraire de X. Notre courbe de degré p -\- 2 a donc un point multiple d'ordre p à l'infini. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Toute courbe de genre p hyperelliptique correspond point par point à une courbe de degré p -f- 2 ayant un point multiple d'ordre p.

On peut d'ailleurs vérifier que, inversement, toute courbe de degré p -f- 2, avec un point multiple d'ordre p à tangentes distinctes, est de genre/? et du type hyperelliptique.

Le genre de notre courbe sera donc

l—!- - — i—^- ou />.

Les adjointes d'ordre p -+- 2 — 3 ou p — 1 seront ici des courbes d'ordre p — 1, ayant le point multiple O d'ordre/? de la courbe comme point multiple d'ordre p — 1 : elles sont donc formées de p — 1 droites arbitraires passani par (.). La courbe est byperclliptique, car toute adjointe d'ordre /? — 1 passant par un poinl V de la courbe va nécessairement passer par un autre point qui est le point ( <:n dehors «h; A et O) où la droite AO rencontre la courbe.

17. Nous avons fait correspondre, avec Clebsch et Gordan, une courbe arbitraire de genre/* à une combe normale de degré p -f- 1 . Oïl peut encore obtenir des courbes normales de degré moindre, comme Font indiqué MM. Brill el Nôther dans 1«- Me moue que nous avons déjà plusieurs fois cité (•). Sans entrer

C; Brill et Nôther, Math. Annalen, 1. \ll. Voir te a* 9 intitulé: Das Pro blem dei Spécial Gruppen, et les paragraphes suivants.

dans une discussion approfondie de cette question, qui ne me paraît pas d'ailleurs avoir été jamais faite complètement, indiquons au moins les considérations qui peuvent conduire à ces courbes normales de degré inférieur à p -\- i . Nous trouverons là l'occasion d'appliquer le théorème de Riemann-Roch et le théorème de réciprocité de MM. Brill et Nother.

Soient considérés \k points (#, , yK ) . . . (.2^, y^) sur une courbe algébrique y. Cherchons à déterminer ces points de manière qu'il leur corresponde un nombre a- différent de zéro [voir § 4-), c'està-dire qu'on puisse faire passer par eux o- courbes adjointes Q linéairement indépendantes. On aura les fj. équations

«1 Qi(xh,y/i)-±-a2Q-2(xh,yh)-r-...-^apQp(x/nyh) = o (h = i, 2, ..., \l).

Ces [A équations entre les a doivent se réduire h p — a* d'entre elles, et l'on aura, par suite, entre (a?,, yK ) . . . (x^, J'y.), un nombre d'équations de condition égal à

(lx — P + ff)*-

Ces équations (E) devront être vérifiées pour que, par les [a points que je désigne par A, on puisse faire passer des adjointes Q dépendant de <r paramètres arbitraires. Prenons une de ces adjointes; elle rencontrera (en dehors des points multiples) / en fi/ autres points que nous désignerons par B, et l'on a

\l -f- \i! = 2jD — 2.

Aux points B correspond un nombre a-', et nous avons établi les relations, revenant d'ailleurs à une seule,

[jl — p -h a -+- 1 = a', fj.' — p -t- cr'-h 1 = a.

Par les points B, on peut faire passer des adjointes Q dépendant de <t' paramètres arbitraires. Ces adjointes rencontrent f en u. points auxquels correspond le nombre primitif o\ Ces ^ points satisfont donc aux équations (E), et, parmi eux, il j en a a-' — 1 d'arbitraires; mais, d'autre part, le nombre des points satisfaisant aux équations (E) et restant arbitraires est au moins

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIE MANN. 5/j 1

Il faut donc que l'on ait l'inégalité

u — (ja. — p -h a ) j ^ a' — I.

De cette inégalité fondamentale nous déduisons, en nous servant des relations écrites plus haut,

Un cas particulièrement intéressant est celui où g' = 3 ; on

aura alors

par suite,

JX>2(ff+/l),

d'où, en remplaçant <r par sa valeur en u. et/?,

H>2(3-t-/>— ,u), et enfin

(19) fjL^I^ + 3).

18. Nous arrivons maintenant à la recherche des courbes normales. Pour que l'on puisse avoir a-' = 3, la plus petite valeur que puisse prendre <x est donnée par l'inégalité précédente. En suivant la marche du paragraphe précédent, on prendra alors des points B, en nombre [*/, obtenus comme il a été dit, et par ces points passera un réseau d'adjointes

«îQi -+■ ftsQa-*- at»Q»= o,

qui auront u points de rencontre mobiles avec/. En posant

" Qa(^r)'

on /era /'/ transformation de f en une courbe F 7/// .svm <ie degré \>.. Nous nous contenterons <!<• <lir<' que cette transformation 1 birationnelle si la courbe f n'est pas spéciale; il en <\st bien certainement ainsi, mais on n'a pas approfondi l'étude des ras exceptionnels qui pourraient se présenter.

Le point intéressant est d'avoir In plus petite valeur possible

pour jj.. Reportons-nous, à cet effet, à l'inégalité (19). On peut

avoir

p — 3x, 3tt-+-i, 37:4-2.

Dans les trois cas, le minimum de l'entier u satisfaisant à l'iné-

galité (19) est

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Une courbe arbitraire de genre p correspond point par point à une courbe de degré

p — TT H- 2,

en posant p = 3 tt, ou 3t: -f- 1 , ou 3tï 4- 2.

19. Terminons cette section sur la transformation birationnelle des courbes par quelques remarques. Etant donnée une courbe

et la substitution simplement rationnelle

quand (-a?, y) décrit la courbe /, le point (X, Y) décrit une

courbe

On voit immédiatement que le genre q de F est au plus égal au genre p de f : en effet, à chaque intégrale de première espèce de F correspond une intégrale de première espèce de f\ et, par suite, le nombre des intégrales de première espèce distinctes de f est au moins égal au nombre des intégrales de première espèce de F. On a donc bien

Examinons le cas où

On peut établir alors que la transformation est nécessairement birationnelle (').

(l) Ce théorème a été démontré pour la première fois par M. Weber (Journal de Borchardt, t. 76).

Considérons, en effet, les intégrales de première espèce P(X,Y)rfX r(l{x,y)dx

frjW«f

des courbes F et/. On aura

Fi(X, Y)rfX Qx{x,y)dx Q2(^.7)^r Q;,Qr, j) <fa

=; = «1 77 !" a2 77 t- ...-+- a,, rn ?

les a étant des constantes, et, par suite, en supposant ^ >i, on

aura

Pi(X, Y) __ aiQi(a?,/)+...+ a/,Qp(ar,/) P2(X, Y) " 6, Qt(^ r) +■• . .-h èp Qp(x, y)1

les a et & étant des constantes. Aux points de F pour lesquels

Pi(X,Y) = o,

correspondront des points pour lesquels

«1 Qi(#, y) + ... + «/, Q/>(^, j) = o.

Si à un point arbitraire de E correspondent ;ji points de /, il

faudra donc que

\j.{iq — 2 ) S 2 /? — 2 ,

et, par suite, si p — q > i , on aura nécessairement

c'est-à-dire que la transformation est birationnelle : c'est le, théorème de M. Weber.

Dans !«• cas où j> = 1 , les choses se passent d'une manière entïéremenl différente. On trouvera d'importants développements sur les transformations simplement rationnelles des courbes avec des applications à la théorie des équations différentielles dans le Mémoire dé M. Painlevé sur les équations différentielles du incliner ordre ( ' ).

(x ) l\ Painlevé, Annalet de l'École Normale supérieure, 1891-1Ê