V. — Des courbes du genre deux
20. Dans tout ce qui précède, on a supposé jo^3. Quelquesunes des considérations précédentes s'appliquent toutefois au cas de p = 2. Dans ce cas, la courbe est hyperelliptique. Le raisonnement fait au paragraphe 14 peut, en effet, être employé ici.
On a un faisceau
Q1 + XQ2 = o
d'adjointes d'ordre m — 3 avec le seul paramètre X. Les courbes de ce faisceau ne rencontrent/ qu'en deux points variables; par suite, la courbe/ correspond point par point à une certaine courbe hyperelliptique
(20) H»s=PXX),
et, d'après ce que nous avons dit (§ 14), le degré du polynôme P(X), qui n'a que des racines simples, est cinq ou six. On peut encore employer, pour faire la transformation, des adjointes d'ordre m — 2, et la courbe de degré p-\-i avec un point multiple d'ordre p devient ici une courbe du quatrième degré avec un point double. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Toute courbe de genre deux correspond point par point à une courbe du quatrième degré ayant un point double.
Les remarques qui précèdent épuisent la question de la représentation paramétrique des courbes de genre deux] mais il n'est pas sans intérêt de montrer d'une manière purement algébrique que le degré du polynôme P (X) dans l'équation (20) est au plus égal à six) c'est ce que nous allons faire en supposant, pour simplifier, que la courbe f n'ait que des points doubles. Changeons seulement un peu les notations; soit, pour éviter les indices,
le faisceau des adjointes d'ordre m — 3 de la courbe de genre
deux
x et y sont des fonctions rationnelles de X et y P (X), en désignant par P (X) un polynôme qui est supposé n'avoir que des racines simples. C'est le degré de P (X) que l'on se propose d'évaluer. L'équation du second degré donnant x sera de la forme
A(X)^2+2 B()v)ar + C(X) = 9,
A, B, C étant des polynômes en X. L'équation en x aura des racines doubles pour les valeurs de X annulant
B2— AG =o.
Ces racines sont de deux sortes : ou bien elles correspondent aux valeurs a de X pour lesquelles deux points de rencontre de la courbe correspondante avec f sont distincts et sur une même parallèle à Ojk, ou bien elles correspondent aux valeurs [3 de X pour lesquelles la courbe correspondante du faisceau est tangente
Dans le premier cas, y aura deux valeurs distinctes, c'est-à-dire
que y, dans le voisinage de X = a, sera uniforme; x le sera donc également (puisque x peut s'exprimer rationnellemeut en. y et X, si, comme on peut le supposer, la courbe et le faisceau n'occupent aucune position particulière par rapport aux axes). Par suite, Â = a sera certainement une racine de degré pair de Ba — AC, et elle ne figure pas alors parmi les racines de P (X).
Le degré de P (X) est donc égal au nombre des courbes du faisceau
Q +aR=o
tangentes à I : calculons ce nombre. Nous avons les équations
f(x,y) = o, Q-hXR = o,
o,r-hXR,; = q;-4-xr^
JX Js
el nous devons, par suite, chercher les points de rencontre des
uVux courbes
/(*, y) = o, t\ i Qi r - Ri p . -/.; .. q; R- R^Q) = o.
Evaluons l<- nombre des points <l<' rencontre de ces deux courbes en supprimant Les solutions étrangères au problème.
pi< ahi). — ii.
La seconde courbe est d'ordre
m — i -t- m — 4 -+- ni — 3 = 3 m — 8.
Il est facile de vérifier que les points doubles de / sont des points doubles de la seconde courbe avec les mêmes tangentes. Pour le voir, mettons le point double à l'origine avec Ox et Oy comme tangentes; on aura
f(*,y) = XY +-?3<>, y) -h...,
R(ap, y) == a'as.+ b'y -h...; on a donc, pour la seconde courbe,
dy
[a(a'x -+• b'y) — a'(ax -f- by) -h. . .]
~ ly + it ~^' ' ' J [-Htt'5 + 6» - è'(aa7 + b.r) +•••] = °>
Pensemble des termes du second degré est donc xy.
Nous allons voir, de plus, que les m points à l'infini de /appartiennent à la courbe de degré 3m — 8. On a, en effet, comme terme de degré 3m — 8.
YyW*r — clr'x) — ix(q'yr — r'yq),
en désignant par o, q, r l'ensemble des termes homogènes du plus haut degré dans/, Q, R.
Si l'on remplace q et r par xq'x-\-yq' et xr'r -f-jrL on aura
(q'xr'y— q'yr'x)(xy'x-Y-yv'y)',
donc (d (x, y) sera bien en facteur.
Les solutions que nous venons de trouver sont manifestement étrangères au problème. En les laissant de côté, il reste pour le problème proposé un nombre de solutions égal à
m(3 m — 8) — G — — i — m, c'est-à-dire six..
Le polynôme P (a) est donc du sixième degré.
