VI. — Du genre des courbes algébriques d'après Weierstrass

aperçu sur sa théorie.

21. J'ai fait allusion (§3 de ce Chapitre) à la manière dont Weierstrass introduit le genre dans la théorie des courbes algébriques. Voici la méthode qu'il suit pour arriver à cette notion

capitale ( ' ) : soit

l'équation de la courbe irréductible envisagée et qui a des singularités quelconques, et posons

f(x,jr)=Mx)yn-hft(v)y"-*-h,..-4-f„(x),

où les /**(#) sont des polynômes en x au plus de degré ni.

Désignons par (x' , y1) un point pris arbitrairement sur la courbe, et soient de plus

m — i constantes arbitrairement choisies. Nous formons la fonction du point* analytique (x, y)

. , ,. f(xty){x'-a')...{x,-ai>*-»)

Il est facile de trouver pour quels points de La courbe elle devient infinie. Tout d'abord elle reste certainement finie pour .r =00. Remarquons que l'on peut écrire

!» deviendra d<»n< infinie pour ./ ■ = ./■', y = \ -', mais rotera finie aux 11 — i autres points de rencontre de la courbe a\ec la droite

x — .-/•'. De plus Le résidu de II pour Le pôle simple (./•', y') scia,

on Le \ oit de suite,

àf{x\y')

(') h. Wi 11 hsii: \-s. Wàthematische Wtrkt < vierter Band, tweitea Kapttel).

puisque, pour y = "yf et x = x\ l'expression (21) se réduit df(.r',/)

La fonction R a d'autres pôles que %.= x*, ^ = ^'; elle a encore, comme pôles simples, les points en nombre

qui sont à l'intersection de la courbe avec les droites x = a', x = a/;, » . . , x = a{m~^ .

Désignons ces Z points par Ai, A2, . . . , A/ et disons, une fois pour toutes, qu'il ne s'agira dans la suite que de fonctions ayant des pôles simples.

Supposons qu'il existe une fonction rationnelle du point (a?, y), ayant seulement comme pôles les points A ou quelques-uns d'entre eux. Soit, par exemple, une fonction ayant comme pôle Ai (et quelques-uns des autres). On pourra retrancher cette fonction multipliée par une constante convenable de R, de manière à faire disparaître le pôle A4. Supposons alors qu'il existe une fonction rationnelle ayant seulement pour pôles les points

ou quelques-uns d'entre eux. En opérant de même, on fera disparaître un de ces pôles, et ainsi de suite tant que l'opération sera possible. Finalement, nous obtiendrons une fonction de (x,y)

devenant infinie en(x',y') et en un certain nombre p de nos points A que nous pouvons désigner par

De plus, et c'est là le point capital, puisque par hypothèse l'opération précédemment indiquée ne peut alors se continuer, il n'existe pas de fonction rationnelle de (x, y) devenant seulement infinie aux points B ou pour quelques-uns d ) entre eux.

22. Le nombre p que nous venons d'obtenir se présente dans des circonstances particulières, puisque les points B ne sont pas nécessairement indépendants les uns des autres. Supposons main-

tenant qu'il existe une fonction rationnelle

devenant seulement infinie en (x\ y' ) et en a- points

(c,, d{) ... (cff, dts)

que nous appellerons Ci, C2, . . . , C^ ( ils sont d'ailleurs choisis arbitrairement et sont distincts des points B), tandis quil n' 'existe pas de fonctions rationnelles de (a?, y) devenant seulement infinies aux points C. Nous voulons montrer que <r = p.

On peut supposer, après une multiplication convenable, que <I> a le même résidu que F en (a?7, y ) ; alors la différence

ne devient plus infinie en (a?', yf ). Envisageons la fonction

F(ar, y; cu dx >.

Elle devient infinie en ( Ci, d\ ) et nous pouvons par suite disposer de la constante Yi de manière que

ne soit plus infinie en (c,, <7| ). En continuant ainsi, on déterminera les constantes yi} y2 .... y<, de manière que l'expression

— va I4'1 ' • ; ca, </2) — . . . — Y<T F ( •'- .' ; c<7. (in)

ne soil infinie ni en (./■', r'), ni en Ci. Câ, ..., Cff. Mais alors l'expression ( 22 ) ne pourrait être infinie qu'en Bi, Bâ, . .., Bpj ce qui esl impossible. Elle se réduira donc à une constante.

Dans ces conditions, les points B ue seront pas des pôles pour la fonction ( 2a ); or, désignons par

résidus respectifs de la fonction Fi p, i : i . r i par rapport à Bi, I)., .... I') ont des fonctions rationnelles de(:r',j

Ou aura les relations, qui expriment que les B ue sont pas pôles

55û CHAPITRE XV.

de (22) :

[ >vi(#\ 7')-4-ïi Xi (cu di)+. . .4- Y<x^i (ca, ^<t) = °. (23) ! ^2<>'5 r')-+- Yi *2<ci> d\ )-+-... -F Y<r,X2 (cff, rfff) = o,

l ^(^',/') -+- Yi VCl> û?i)-+r/---+'Yff1xp(c^ <**) = °-

23. Si Ton a c <J p., on ne peut satisfaire par des constantes y à ces relations, si les points C sont arbitraires, car on déduit de ces équations une ou plusieurs relations entre (cM d<). . . (ca, da) et (a?', y'). Il est donc impossible que a- soit inférieur à p.

iSï /'o/z a <r=p, les équations précédentes déterminent les y, car le déterminant de ces lettres n'est pas nul, les points (c, d) étant arbitrairement choisis.

// reste à examiner V hypothèse <r [> p. Prenons dans ce cas, a priori, l'expression (22) avec les indéterminées y. En assujettissant ces lettres aux relations (28), nous écrivons que l'expression (22) n'a pas les points B pour pôles. Elle n'a pas non plus le pôle (x', y'), et par suite n'a que les pôles C. Or dans les équations (23). puisque <r >► p et que les (c, d) sont arbitraires sur la courbe, un ou plusieurs y restent arbitraires, les autres s'en déduisant. Supposons, par exemple, que yi reste arbitraire; on peut le choisir de manière que l'expression (22) ait en (c,, d\) un pôle avec un résidu déterminé différent de zéro. Dans ces conditions l'expression (22) n'aurait que les pôles G, et d'autre part elle ne se réduirait pas à une constante, puisqu'elle aurait effectivement le pôle G, ; nous arrivons donc à une contradiction.

Par suite, il est établi que <r = p. Ce nombre p est tel qu'il n'existe pas de fonction rationnelle ayant seulement p pôles simples arbitraires, tandis qu'il existe une fonction rationnelle ayant seulement p — | — 1 pôles simples arbitraires. C'est ce que Weierstrass appelle le rang d'une courbe algébrique. Il est^évidemment invariant d'après sa définition même; comme nous l'avons vu (§3), c'est le genre p de Riemann.

24. JNous ne pouvons songer à suivre Weierstrass dans le développement de sa théorie. Un élément essentiel de celle-ci est la fonction rationnelle de x, y, x' ety!, qu'il appelle

ll(x,y; x\y).

Considérée comme fonction de / . r, file devient infinie du premier ordre aux g -f- i points

(«!, 6,), (au 6, i, ..., (rt?, bp), (x',yr)

et s'annule au point (#0, b0); pour x — x\y=yl son résidu est égal à — i . Les conditions précédentes déterminent manifestement la fonction, et cela d'une manière complète. Weierstrass la détermine par un calcul régulier et sans rien supposer connu de l;i théorie (comme nous l'avons fait au paragraphe 3). Prenons le pôle (aa, 6a); on peut développer dans le voisinage de aa la fonction sous la forme

H(*, y- x\ y) = \\(x\ y' )a — L- -+- Y H^ (*', y')a (x - aa)\

X Cl.x ■— ^

Les fonctions rationnelles de xf et y'

H(*',y)a et W>(x',/)x (a = i, 2, . . ., p)

jouent dans la théorie de Weierstrass un rôle très important. Un théorème fondamental est qu'entre les

n'existe pas de relation homogène et Linéaire à coefficients constants (c'est-à-dire indépendants de x ei y'). On établit ensuite que les p intégrales

Il ix, y)*dx (a = 1, 2, ..., p)

son! les } intégrales de première espèce et que les p intégrales

Il y(x,y)xdx

sont de seconde espèce; l'ensemble de ces s>. p intégrales forme un système d'intégrales distinctes (!<• secoride espèce. On se trouve .1111-1 transporté |>;n- une voie tout élémentaire au cœur de la théoi ie des intégrales abéliennes.

THEOREMES GENERAUX RELATIFS A L'EXISTENCE DES FONCTIONS SUR UNE SURFACE DE RIEMANN.