I. — Position de la question; théorèmes préliminaires

1. Nous avons jusqu'ici considéré une surface de Riemann définie en partant d'une certaine relation algébrique

Nous avons alors étudié sur la surface certaines fonctions, intégrales des diverses espèces ou fonctions uniformes.

Nous allons nous proposer maintenant des problèmes en quelque sorte inverses. On peut concevoir une surface de Riemann définie a priori et d'une manière purement géométrique : ce seront m feuillets réunis les uns aux autres par un certain nombre de lignes de croisement et formant une surface connexe. Il s'agit d'établir qu'à une telle surface correspond une classe de courbes algébriques et de démontrer a priori l'existence de ces fonctions dont nous parlions plus haut. Nous rentrerons ainsi dans la pensée profonde de Riemann, dont nous nous sommes écarté dans les Chapitres précédents en faisant l'étude des intégrales de différentielles algébriques relatives à une courbe. Les études doivent, d'ailleurs, évidemment être faites l'une et l'autre; jusqu'ici nous sommes parti de la courbe ou de la relation algébrique, nous prenons maintenant pour point de départ le concept de la surface riemannienne à m feuillets.

Malheureusement la méthode si simple de Riemann pour établir les théorèmes généraux d'existence ne présente pas la rigueur

qu'on exige aujourd'hui dans la théorie des fonctions. Elle repose sur la considération du minimum de certaines intégrales tout à fait analogues à celles que nous avons déjà étudiées dans le problème de Dirichlet (p. 37) et on lui a adressé les mômes objections. 11 a donc fallu chercher dans une autre voie : Neumann et Schwarz y sont parvenus chacun de son coté. La méthode de .\euinann est exposée dans son grand Ouvrage sur la théorie des fonctions abéliennes ('); j'y renverrai le lecteur. Schwarz, à la suite de ses recherches sur le procédé alterné et le problème de Dirichlet, ajoute que l'on peut par ce procède arriver aux théorèmes généraux d'existence. Dans une lettre à M. Klein, que nous aurons à citer dans un moment, il revient rapidement sur la question. On peut avec ces données restituer complètement la méthode de Schwarz, et je ne crois pas dans les pages qui suivent m'écarter de la pensée de l'illustre géomètre.

2. Nous allons avoir à compléter l'étude des conditions d'existence d'une fonction harmonique. Quelques théorèmes préliminaires nous seront indispensables. Nous avons déjà exposé (p. 81) le procédé alterné; il va jouer dans la suite un rôle capital. Nous l'avons, en particulier, appliqué dans le cas d'une aire limitée par deux contours G et C (p. 86) et nous généraliserons d'abord la recherche faite à cet endroit.

Reprenons donc, avec Schwarz (2), l'aire limitée par les deux contours C et G'. Traçons la ligne mn joignant un point de C à un point de G', et donnons-nous sur chacune des deux courbes une .succession de valeurs que nous supposerons, en général, continue (il pourrait y avoir des points en nombre fini pour lesquels il y aurait un saut brusque d'une valeur à une autre).

Nous traçons une courbe nu/ joignant un point de C à un point de G' ( fig . 55); désignons par mn + le bord droit de celte coupure et par mn son bord gauche. .Nous allons chercher à déterminer une fonction harmonique //, continue dans l'aire Limitée par G, G'

(') Neumann, Vorlesungen iiber Riemanns Théorie der Abelschen Intégrale

(7 ) Schwarz, i aut einem Briefe an Herrn / Klein [Œuvra corn-

piétés^ t. 11. j>. 3o3).

et m/i, prenant des valeurs données sur C et C, et pouvant se prolonger analytiquement des deux côtés de mn, de telle sorte que le prolongement analytique de u~ soit égal à

h étant une constante donnée, en représentant par u~ et u+ les valeurs de la fonction dans le voisinage de la conpure à gauche et à droite.

Nous appellerons A l'aire limitée par C, G', m/i+, mn~\ traçant alors une seconde coupure pq, appelons B l'aire limitée par G, G',

pq+-, pq~- Nous allons d'abord former une première fonction harmonique m,, définie dans l'aire A, prenant les valeurs données sur G et G', puis des valeurs arbitrairement choisies sur mn~ et les mêmes valeurs augmentées de h sur mn+. La fonction ut prendra certaines valeurs sur pq. Nous formons alors une fonction harmonique vK déterminée dans l'aire B, prenant sur pq+ les valeurs de U\ et sur pq~~ les mêmes valeurs diminuées de h ; de plus, vt prend sur les arcs a et [3 de G et G' les valeurs de uK diminuées de h% et sur le reste des courbes G et C' les mêmes valeurs que U\ : la fonction c, est ainsi complètement déterminée. On va continuer ainsi indéfiniment : la fonction w2 sera la fonction harmonique déterminée dans A prenant sur mn~ les valeurs de vK et sur mn+ les mêmes valeurs augmentées de h, et égale à u{ sur Cet G'. On formera v2 en partant de u2) comme on a formé pf en partant de m,, et ainsi de suite. Les fonctions un et vn ont respectivement deux limites u et p, comme nous l'établirons sans peine. Or on a

»«•— *>n (sur/?<7+),

un= vn-\ (sur mn.-).

D'ailleurs tous les u et v ont même valeur sur les arcs C — a el C — p. Il en résulte que

sur le contour formé par ces deux arcs et mn , pq+', il en est donc de même à l'intérieur de ce contour. Pareillement, on a

Vn=Un~- h (sur /></-),

vn-\ = un — h (sur m n+ ) .

On a donc, dans l'aire limitée par a, [3, mn+, pq~ ,

Or la fonction v n'a pas mn pour coupure; nous allons donc pouvoir, avec les résultats précédents, étudier immédiatement le prolongement analytique de u quand on traverse de gauche a droite la coupure mn. Puisque, à droite de celle-ci, on a

u . = v -f- A, tandis qu'à gauche

le prolongement analytique de u~ sera donc égal à u+ — //, comme nous l'avons dit dans l'énoncé. 11 esi clair que semblablemeni le prolongement analytique de ti+ est égal à ur-\-k. La fonction u prend sur C et C les valeurs données ; il est clair que, si l'on traverse la coupure mtt, les valeurs de u sur ces deux courbes augmenteront ou diminueront de A, suis uni le sens dans Lequel la coupure aura été traversée (' ).

3. Nous avons admis l'existence de limites pour i/„ cl c„. La démonstration est la même qu'au paragraphe 2 du Chapitre 111, el il suffira de faire ressortir brièvement l'analogie entre les deux l as, Nous pouvons dresser le tableau

mn

Vl •

• Va ■ ■

Si l.i raccesMOfi donnée dei valeurs sut <'. el C admet la période //. on Beurra regarder la fonction comme parfaitement déterminée en m <-i n sur le bord droit el sur \t bord gauche de la coupure. l>;ms !<■ <-.i- contraire, la foo< lion n'.iiir.i pee, à prooreflMol perler, <lr valeur* i u ces points.

qui rappelle que un et vn prennent les mêmes valeurs sur pq+, tandis que un et v„i prennent les mêmes valeurs sur mn~. Tous les u prennent les mêmes valeurs sur les arcs G et C, et il en est de même pour les p, ces valeurs n'étant d'ailleurs les mêmes pour les u et les v que sur les arcs C — a et C — j3. Remarquons maintenant que

u-i — a2= v=l — v\ (sur mnr~).

Or v2 — V\ est nulle sur C et G', et l'on a

p2 — V\ = u% — U\ (sur pq+).

On en conclut de suite, en raisonnant comme à la page 847

| "3— u2\<q*g (sur m ai-),

en désignant par g le maximum de \u2 — us \ sur mn~ ; pour la définition du nombre q<^\, on se reportera au Chapitre III et particulièrement à la page 87. On a, d'une manière générale,

un — u

n-i \<q*n~t)g (sur m/i-),

et la convergence des un vers une limite s'en déduit immédiatement ; on raisonne de même pour les vn.

4. Les considérations précédentes s'étendent d'elles-mêmes. Si, au lieu d'une aire limitée par deux contours, nous avons une aire limitée par une courbe extérieure G et par^o courbes intérieures G, , C2, • • -, dp, nous tracerons p coupures m{ n{ , m2n2, ..., mpiip, joignant G à Gt, C2, ...... C^. On pourra former une fonction

harmonique continue dans l'aire limitée par les C, les mn+ et les mn~ prenant des valeurs données sur les G et pouvant se prolonger analjtiquement au delà de mirti (i = 1 , 2, . . ., /?), de telle sorte que le prolongement analytique de w~ soit égal à

u+ — ht%

ht étant une constante donnée.

Il n'est pas besoin d'insister sur ce cas général ; la question étant traitée pour le cas de deux contours, on traitera le cas de trois contours en sappujant sur le cas précédent, c'est-à-dire en

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 55t

prenant comme fonctions successives u et v des fonctions ayant la périodicité donnée par une des courbes intérieures. Aucune difficulté ne pourra provenir de ce que les u et v ont déjà des périodes, car la différence de deux fonctions u ou de deux fonctions e, sur laquelle porte seulement le raisonnement, n'aura plus de période : cette remarque évidente fait le succès de la méthode et permet de l'étendre de proche en proche de façon à traiter, comme nous venons de l'énoncer, le cas général d'une aire limitée par /> H- i contours ('). Un cas particulier très important est celui où tous les II seraient nuls, et où, par suite, la fonction est uniforme dans l'aire après la suppression des coupures.

'>. Rappelons encore, pour terminer ces préliminaires, une proposition fondamentale relative aux fonctions harmoniques. Pour une telle fonction, la valeur au centre d'une circonférence est égale à la moyenne des valeurs sur la circonférence, ce qui s'exprime en prenant le centre comme origine des coordonnées polaires ;• et es et désignant la fonction par u (/', cp), au moyen de l'égalité

u (o) désignant la valeur au centre.

Nous aurons encore besoin d'avoir une limite de l'expression

Ou peul trouver diverses limites de l'expression précédente. La

(*) On pourrait traiter l>ien plus simplement la question précédente, comme l'a lait remarquer M. Jules Riemann dans sa Thèse déjà citée l p. \- . Si nous

désignons par ( a(, a', | un point situé à l'intérieur du contour Ck (i = 1, » /• .

la fonction harmonique

U = \ -farQ tang-£ -

jouit évidemment de la propriété cherchée, et, par Mnir. l.i différence // — U n'a un plus de périodes, l-<* problème m- ramène donc au cal où t<.u> les // s,, ni nuls, c'est-à-dire au problème de Dirichlel sous sa forme classique. Mous avons du cependant exposer la méthode qu'on ;i lue dans le texte, car nous nous trou • t dans des < irconstances où noua ne pourrons p.i^ faire usage de la remarque qui précède et où nous devrons re< ourir au procédé alterné.

suivante, quoique peu approchée, nous suffira : c'est celle que nous avons donnée (p. 17). On a

| «(r, cp) u(o) | < (R4^)20- (/• < R),

en désignant par g la valeur absolue maxima de la fonction sur la circonférence de rayon R.