II. — Existence des fonctions harmoniques sur une surface

de Riemann ouverte.

6. Nous allons d'abord considérer une surface de Riemann ouverte : voici ce que nous entendons par là. On tracera sur un des feuillets une courbe fermée y qu'on prendra généralement très petite. La surface de Riemann ouverte est la surface dont on a enlevé l'aire limitée par y; on peut dire de la surface ouverte qu'elle a un bord y.

Nous traçons sur la surface de Riemann les rétrosections (C^, Da). Ces rétrosections limitent avec y une aire T. Nous allons d'abord nous proposer de trouver une fonction harmonique bien déterminée et continue sur T, et prenant sur y et sur les deux bords des rétrosections des valeurs données.

Il importe de prévenir tout de suite uue première difficulté relative aux points de ramification. Désignons par z la variable complexe sur la surface de Riemann, et soit a un point de ramification. En posant

nous transformons le voisinage du point de ramification a sur la surface de Riemann dans le voisinage du point z' == o sur le plan simple z' [nous avons déjà fait, d'ailleurs (p. 4^4 )7 cette transformation]. En posant

z = x -h i y et z1 == x' -+- iy\ l'équation v

àx* + dy* '

se transforme en

ôx'z ây''

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 55g

et nous sommes ramené alors à une aire située sur un plan simple (').

Quant au point à l'infini sur chacun des feuillets, on fera pour lui la transformation habituelle

et il n'y a de ce côté aucune difficulté.

Revenons au problème proposé. JNous pouvons considérer l'aire T comme limitée parjo -h i contours, à savoir y et les p rétrosections (G, D). D'après le paragraphe 4, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour une telle aire quand on peut le résoudre pour cette aire rendue simplement connexe par p coupures ; on prendra ici pour ces coupures des lignes, ne se coupant pas, joignant un point de chaque rétrosection à un point de y (celui-ci joue ici le rôle de contour extérieur G du peragraphe 4, et tous les h sont nuls) (2). Or, pour l'aire simplement connexe que nous venons de définir, il n'y a aucune difficulté. On décomposera, comme dans la méthode de Schwarz pour la solution du problème ordinaire de Dirichlet (p. 336), l'aire en un nombre limité d'aires partielles empiétant les unes sur les autres <Ic manière à pouvoir appliquer le procédé alterné. Cette décomposition est indispensable, à cause des points de ramification ; on s'arrangera de manière qu'un certain nombre des aires partielles contiennent chacune un point de ramification, et l'on pourra les supposer assez petites pour faire la transformation indiquée plus haut.

7. \l>ordons maintenant Le problème fondamental. Noos Nouions former une fonction harmonique bien déterminée et continue dans l'aire T) prenant sur y des valeurs données et <t<lmeltant les périodicités c/t ci d/, relativement à Ca et D/i

(') Il faut remarquer seulement que la fonction // continue, ainsi que ses dérivées dans le plan simple (.r, y") autour de jp'ssjr* ao, n'aura pavaesdérn • > n t i 1 1 1 1 > -> pour le point d'affixe a quand on reviendra à la surface de Hiemann.

Les dérivées — et — deviendront, en général, infinies de l'ordre de - . en <\càx ôy s r

signant par /• la distance de ( r< y) au point d'affixe a.

(2) C'esl pour ce point du raisonnement qu'il est indispensable que la surface

soit ouverte.

56o CHAPITRE XVI.

(A = i, 2, ...,/?). Nous entendons par là qu'après avoir marqué sur les rétrosections C et D un bord positif et un bord négatif (conformément, par exemple, aux conventions faites au paragraphe 12 du Chapitre XIV), le prolongement analytique de la fonction, considérée du côté négatif d'une coupure C^, coïncidera avec la fonction, considérée du côté positif, à — Ch près, ce que nous exprimons, comme plus haut (§2), par

u - = u+ — ch ;

et pareillement pour toutes les autres parties des rétrosections.

Donnons d'abord la solution, dans l'hypothèse où p = i . Suivant notre habitude, faisons dans l'espace le schéma de la surface de Riemann correspondante : ce sera un tore, sur lequel nous traçons un parallèle G et un méridien D {fi g. 56), et nous dési-

Fig. 56.

gnerons par c et d les périodes qui doivent leur correspondre ; figurons aussi la courbe y rendant la surface ouverte.

Nous allons, en premier lieu, former une fonction harmonique prenant sur les deux bords de G des valeurs données, ainsi que sur y, et admettant la périodicité d par rapport à D. Pour éviter toute difficulté relative aux points (géométriquement confondus) m et n des deux côtés de C, nous supposerons que les valeurs données sur les deux bords de C aient aussi d pour période (4). Pour résoudre ce premier problème, traçons une coupure auxiliaire D' et raisonnons absolument comme au paragraphe 4, en partant d'une fonction harmonique prenant sur les deux bords de G et sur y les valeurs données, et sur les deux bords de D des valeurs arbitraires d'un côté et les mêmes valeurs augmentées de h de

(') Voir la note du paragraphe 2.

l'autre côté (D et D' remplacent les coupures mn et pq du paragraphe cité). La fonction u{ prend certaines valeurs sur D'+ ; nous formons alors une fonction r, égale à u{ sur D'+ ainsi que sur les portions des deux bords de C comprises entre D'+ et D~ et enfin sur y, tandis qu'elle est égale à u{ — d sur D'~, et sur les portions de G comprises entre D+ et D' . On formera de la sorte une suite indéfinie de fonctions */, c, et la limite des fonctions // résout le problème posé ; il me paraît inutile d'insister, l'analogie étant complète avec le cas traité au paragraphe 4.

Ce premier problème résolu, nous considérons maintenant, outre G et D, un second parallèle C; {fig> 5^). Ce sont mainte-

Fig. 57.

nant C et C qui vont jouer le rôle de mn et de pq, et toutes les fonctions harmoniques que l'on va considérer auront la périodicité d par rapport à D et prendront les valeurs données sur y. On partira dune fonction u{ prenant des valeurs arbitraires sur C- I sauf ];i périodicité d correspondant au passage par D) et les mêmes valeurs augmentées de c sur G+ ; cette fonction prendra sur C/+ certaines valeurs. On formera la fonction r,, prenant ces valeurs mit C+ et les mêmes valeurs diminuées <|<> c sur C'~. et l'on continuera ainsi indéfiniment, dirigeant toujours opérations fi raisonnements comme au paragraphe 4. La limite dès // sera la fonction cherchée; elle prendra sur y les valeurs données . sei <> continue sur toute la surface de lUemanti ; ci admettra les périodicités données c et d relativement à C et à D.

S. Lprès avoir traité le cas de/7 i, il d \ a aucune difficulté à traiter h général. La marche est La même que pour passer

pu wu>. — m. :k.

r>()'2 CHAPITRE XVI.

d'une aire limitée par deux contours à une aire limitée par p -f- i contours. Soient, par exemple, p = 2 et les deux rétrosections (Cl5 D,), (G2, D2) et le contour y. En nous donnant des valeurs sur les deux bords de C( et D< ainsi que sur y, nous pouvons d'abord, d'après ce qui précède, déterminer une fonction harmonique prenant sur C< et D, ainsi que sur y, les valeurs données, et ayant les périodicités c2 et d2 relativement à C2 et D2. N'employant alors comme fonctions approchées u Qt v que des fonctions ayant cette périodicité, nous obtiendrons, par un nouvel emploi du procédé alterné, relativement à C{ et D,, la fonction cherchée.

Le raisonnement est général, et nous avons ainsi complètement résolu le problème proposé pour une surface ouverte. Nous avons formé une fonction harmonique continue sur la surface de Rieniann limitée par y et les p rétrosections (C, D) ; cette fonction prend sur y des valeurs données et admet des périodicités données relativement aux C et D.