III. — Existence des fonctions harmoniques sur une surface

de Riemann fermée.

9. Le problème que nous venons de traiter dans la section précédente n'est qu'un problème préliminaire. Nous avons maintenant à étudier le cas de la surface fermée, et nous chercherons d'abord à démontrer l'existence d'une fonction harmonique bien déterminée et continue sur la surface de Riemann considérée avec les rétrosections C et D, et ayant des périodicités données c/t et dh correspondant aux 2 p coupures G^ et D^ (h = 1, 2, . . ., p). Nous entendons toujours de la même manière le mot périodicité. Nous répétons que la fonction pourra être prolongée analytiquement au delà des G et D, et cela de telle manière qu'en désignant par u+ et u~ la valeur de la fonction à droite et à gauche dans le voisinage d'une coupure, soit C^, on ait, comme prolongement analytique de tz+,

u- -h ch,

et de même pour toutes les autres coupures. Dans ces conditions, la fonction #, qui reste toujours finie, aura sur la surface de Rie-

mann, débarrassée des rétrosections, une infinité de déterminations qui rentreront dans le type

u -h ^ ( mh ch -f- nhdh i.

les m/, et n/t étant des entiers positifs ou négatifs, et u désignant une de ses déterminations.

10. Nous allons encore employer le procédé alterné, mais dans des conditions différentes de celles où nous l'avons employé ju>quici ('). Prenons sur un des feuillets deux cercles concentriques T et y de rayon R et /'. Nous allons former une succession de fonctions harmoniques u et c. Les fonctions v seront définies et bien déterminées sur la portion de la surface de Riemann, munie des rétrosections C et D, extérieure à y, et elles admettront les périodicités données à ces rétrosections ; quant aux fonctions w, elles seront déterminées à l'intérieur du cercle F.

Ceci posé, donnons sur F une succession de valeurs arbitraires. Nous foi -nierons une fonction m, prenant ces valeurs sur F; cette fonction prendra certaines valeurs sur y. On formera une fonction V\ prenant les mêmes valeurs que u( sur y (nous savons, d'après la section précédente, former une telle fonction). Nous considérerons ensuite la fonction u.2 prenant sur T les mêmes Mileurs que r<, et l'on continuera ainsi indéfiniment. Nous avons donc deux suites de fonctions

«11 " Z Uni • • • ,

*>U VU '••) vn

Si Ton admet que un et VH ont des limites u et e, il est clair que ces deux fonctions coïncident dans la couronne annulaire comprise entre y et F. puisqu'on a

//„ - <•„! ( sur r i.

u„r-= Vn iur y ».

(') Les passages des Mémoires 'I'' Schwarz, qui se rapportent <ï la question <]in nous occupe actuellement, sont aux pages i( : ;"'> du Tome il

tammelte matkemcUUche \bhandlung$m, von M.-\. Scxwabj

d'où résulte l'égalité a = v sur F et sur y et, par suite, dans Taire limitée par ces deux courbes. Ainsi, la fonction v pourra se prolonger analjtiquement à l'intérieur du cercle y, et ce prolongement analytique n'aura aucune singularité à l'intérieur de ce cercle. Nous obtenons donc bien la fonction cherchée.

11. Nous avons à démontrer que un et vn ont des limites. La démonstration sera moins simple que dans les cas analogues rencontrés jusqu'ici, et nous devons d'abord faire plusieurs remarques. Montrons, en premier lieu, que les moyennes des valeurs de toutes les fonctions un et v'n sur les circonférences y et F sont les mêmes. 11 est d'abord bien clair que les valeurs moyennes de uK sur T et de vK sur y sont les mêmes, puisque ut == v{ sur y. Prenons alors une circonférence G de rayon p comprise entre T et y, et considérons la fonction vK à l'extérieur de G ; si nous traçons le contour K sur la surface de Riemann, nous aurons, par la formule de Green,

JK cin S ^~JCt

— — as =■ o.

Or la première intégrale est nulle ; les éléments s'y détruisent, en effet, deux à deux, puisque les dérivées de v{ ont une périodicité nulle relativement aux rétrosections. 11 reste donc

r dvx

JG dn

ce qui peut s'écrire, la ligne G étant un cercle,

r 2 n dv

et, par suite, l'intégrale

est indépendante de p. Ceci veut bien dire que la valeur moyenne de la fonction ^, sur la circonférence y est égale à celle de u2 sur la circonférence F.

Or déjà la moyenne de vA sur y est, comme nous l'avons dit,

égale à celle de uK sur r ; on a donc bien

wi(R, g) dy = I u2(R,o)do,

et ainsi de suite. Tous les u ont même moyenne sur Y et ont, par suite, même valeur au centre O de cette circonférence.

Considérons, en second lieu, deux fonctions harmoniques U et V continues dans Y et prenant sur cette circonférence des valeurs ayant même moyenne. Il en résulte évidemment que ces fonctions ont même valeur au centre; ceci va nous permettre de trouver une limite de | UA — VA | pour un point A quelconque du cercle y. Reportons-nous à l'inégalité rappelée au paragraphe 5 de ce Chapitre. Appliquons-la à la fonction U — V qui est nulle au centre. En appelant M le maximum de | U — VI sur la circonférence T, on aura

IUa-VxK^I^M..

Or supposons — assez petit pour que l'on ait

{K-ry

q étant un nombre fixe intérieur à l'unité. Dans ces conditions, l'inégalité précédente pourra s'écrire

|UA— Va|<?M,

inégalité fondamentale entre les maxima de |U — VI sur les circonférences T et y; elle suppose essentiellement que les valeurs moyennes de U et V sur Y soient les mêmes.

12. ^son^ pouvons aborder maintenant la démonstration de L'existence de la limite pour u n et vn. Grâce aux remarques précédentes, nous nous trouvons dans les mêmes conditions (pie précédemment. On a

Ui — ittss v% — vt (sur T).

Or la fonction v% — <i est une fonction bien déterminée à l'extérieur de y. sans périodicité (la périodicité des e disparaissant

dans l.i soustraction | : !<• maximum de p9 - r, | sur I' est dune au

5t)6 CHAPITRE XVI.

plus égal au maximum de | p2 — ■ V\ | sur y, mais

fg — V\ = «2 — U\ (sur y).

Le maximum de | v-> — V\ | sur y est donc moindre que le produit par q du maximum de \ u2 — u, \ sur T. En combinant ces résultats, nous avons

maximum de | w3 — «2 | <C Ç • maximum de j u.2 — U\ f (sur Y).

L'existence d'une limite vers laquelle converge uniformément un sur F est alors évidente, et l'existence des limites u et v est établie. Le problème posé au paragraphe 9 est donc complètement résolu.

La fonction trouvée prend au point O, centre de T, une valeur égale à la moyenne des valeurs initiales données au début sur T. La valeur de la fonction cherchée en O et les périodicités la déterminent d'ailleurs nécessairement d'une manière unique ; car, dans le cas contraire, la différence de deux telles fonctions serait nulle en O et n'aurait pas de périodicité. Or nous savons qu'une fonction harmonique uniforme et continue sur la surface de Riemann tout entière se réduit nécessairement à une constante (Chap. XIII, §27).

Appelons fonction harmonique de première espèce une fonction harmonique de la nature de celle que nous venons d'étudier, continue sur la surface de Riemann. Il existe ip fonctions harmoniques de première espèce linéairement indépendantes. On peut, en effet, se donner arbitrairement les ip périodes de ces fonctions, et il est clair qu'entre ip fonctions à périodes arbitraires ne peut exister de relation linéaire à coefficients constants. Réciproquement, toute autre fonction harmonique de première espèce sera une combinaison linéaire de ces ip fonctions ; il suffit de choisir les coefficients de manière que la combinaison ait les mêmes périodes que la fonction proposée.

13. Il est facile de traiter le cas où la fonction harmonique aurait une singularité de la nature suivante :

Proposons-nous de rechercher une fonction harmonique admettant des périodicités données et continue sur la surface, sauf au point O, dans le voisinage duquel elle sera de la forme (le point O

étant pris pour origine des coordonnées polaires r et 9),