UNI. II
Définissons seulement auparavant ce que nous entendons par fonction analytique de deux variables réelles x et y. Nous dirons qu'une fonction réelle et bien déterminée f (#, y) des deux variables réelles x et y est analytique dans une certaine région du plan, quand, dans le voisinage de tout point (x0, y0) de cette région, on peut représenter la fonction par un développement en série
/O, y) = <?<>-+- ?i (x, y) ■+-. • • h- <p,»(#, jk) -h. . . ,
cpw désignant un polynôme homogène de degré m en x — x0, et JK — }'()■> ce développement étant valable pour toutes les valeurs de x et y pour lesquelles
| x — x0 | et |JK — ^V'o | < p,
p étant une quantité suffisamment petite, et si, de plus, la série ne cesse pas d'être convergente quand on remplace, dans tous les polynômes cp, chaque terme par sa valeur absolue.
Il est aisé de démontrer que la dérivée d'un ordre quelconque de la fonction f(x, y) peut se représenter par la série formée avec les dérivées du même ordre des fonctions cp; c'est une conséquence immédiate des propriétés des séries entières d'une variable étudiées précédemment (t. I, p. 234), puisque, l'ordre des termes étant indifférent, on pourra, avant chaque différentiation, ordonner la série suivant les puissances de la variable par rapport à laquelle on intègre. Ajoutons que, les coefficients du développement représentant, à un facteur binomial près, les valeurs des dérivées partielles de la fonction pour x = o, y = o, un tel développement ne peut être identiquement nul sans que toutes les fonctions o soient identiquement nulles.
1 ï. Cette définition bien comprise, nous allons montrer que toute fonction V satisfaisant à l'équation AV = o, continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans une certaine aire, est une fonction analytique.
Soit un point quelconque de l'aire que nous allons prendre pour origine, décrivons de ce point comme centre^ un cercle de rayon R. Reportons-nous à la formule (4) qui détermine V(a, b)
en un point quelconque (a, b) de ce cercle. On a
R 2 -, \\ ,- cos 0 -+- r5 K — r e^ R — r e '°
or
r r^ R R" K" R -re'«
avec une identité analogue en changeant / en — i. On aura donc
r- : : , = 1 + 2 7 — cosn( o — cp)
R* — ->. R /• cos ( ù — o) -t- r2 ^ R"
" R" L R — ^"t^1 " " R - r<- En substituant dans l'intégrale, et remarquant que le reste tend
vers zéro, puisque j est plus petit que l'unité, on obtient la relation
V~(a, 6) = h /,(u) I a" ro*n ? + ^» sin /l?l>
en posant
a„ = - / f(<\> )c os n <\, d'b, 6„= - / /(<]/) sin /zty oty,
/(•!>) désignant la valeur de V sur le contour.
Le développement précédent a pour terme général un polynôme homogène et de degré // en a et b\ en effet,
c/ = rcosc. /; = rsincp,
(a - - <V> )" = /" cos n rp -h ir" sin /? cp :
donc rncos/i<p et /«"sin es sont des polynômes bomogênes de degré // .
Nous avpns donc pour V(a, A) un développement de la forme
Qpg -h Çi(a, 6)+. . . -H :„,ia. /n-r ....
<h h dans s/W(a, 6) <>n remplace chaque terme par ^a valeui absolue, I expression trouvée sera moindre que
en désignant par M la limite supérieure, évidemment existante, des valeurs absolues des coefficients an et bti. Or soit
le terme général de la série, chaque terme particulier ayant été remplacé par sa valeur absolue, sera inférieur à
si donc o << -> la nouvelle série sera encore convergente. jNous sommes donc assurés que, pour
la série qui représente V(a, b) converge de la manière indiquée dans notre définition d'une fonction analytique. La fonction Y est donc analytique.
Le théorème précédent pourrait encore se déduire de la formule fondamentale du paragraphe 10, en s'appuyant sur ce que, pour une valeur donnée de x et j', l'expression
log \/(.x — a)2-f-(jK — bf-
est une fonction analytique de a et b dans le voisinage de tout système de valeurs distinct de (x,y). Sans insister, contentonsnous de dire que, dans la formule fondamentale, tous les éléments sont des fonctions analytiques de a et b, et qu'il en est alors de même de l'intégrale, c'est-à-dire de V(a, b).
15. En désignant maintenant par #, y au lieu de a, b les deux variables, nous avons dans le voisinage de tout point (#0, y0) le développement
vO> y) = <po-+- Çi(# — #o, jk — jko)-^- . .-t- ?.«(#■—*©, y —y»)-*- —
Chacune des fonctions homogènes o satisfera à l'équation de Laplace.
De ce développement on peut conclure que la Jonction V ne peut avoir en un point (#0, y0) ni maximum ni minimum.
Soit, en effet, dans le voisinage de ce point,
la fonction om (x — x0, y — y0) devra, dans le voisinage de (#o>yo)) garder un signe invariable. Or, cela est impossible, puisque, en posant
x — a?0=rcos<p, y — yQ = r sinç,
on a
z,,„ = r"l(am cosmcp -+- bm sin mo ),
et que l'équation am cos ni <p H- 6,„ sin m 0 = 0 a toujours des racines qui sont simples.
Le même théorème peut s'établir en suivant la même marche que Gauss pour le cas de trois variables (t. I, p. 174)- Nous avons vu, en effet, en établissant la formule fondamentale (§ 10), que
2 3Cp./r
\ds.
Y «tant un cercle de rayon p ayant A pour centre.
Si le point A correspondait à un maximum de la fonction, on aurait sur la circonférence T, pour p suffisamment petit,
V < VA, d'où
f V ds< f \ kds] Jt Jy
c'est-à-dire
— f\ds<\,.
ce qui esl en opposition avec l'égalité écrite plus haut.
16. Nous allons tirer immédiatement une conséquence importante du théorème établi au paragraphe précédent. Etant donné un contour fermé C, montrons qu'il ne peut y avoir plus d'une jonction harmonique continue ainsi que ses dérivées partielles des deua premiers ordres dans Vaire limitée />(// C, et prenant en tons les points de Ce contour une succession donnée de valeut
Noua supposons, tout au moins pour le moment, que la su< 1
sion des valeurs données sur le contour forme une suite continue. Désignant, d'une manière générale, par Vm, cette série de valeurs en un point quelconque m du contour, nous entendons par fonction V, prenant ces valeurs sur le contour, une fonction V (x\ y) qui tend vers V,« quand le point (,r, y) tend vers le point m d'une manière quelconque, en restant à l'intérieur du contour (• ).
Ceci posé, s'il existait deux fonctions jouissant des propriétés précédentes, leur différence U satisferait encore à l'équation de Laplace et s'annulerait en tous les points du contour. Dans ces conditions, elle devrait avoir au moins un maximum ou un minimum pour un point situé à l'intérieur du contour, mais cela est impossible, d'après ce que nous avons vil précédemment. La fonction U est donc identiquement nulle, ce qui démontre le théorème.
17. Donnons, du théorème précédent, une autre démonstration où nous aurons à considérer une intégrale double qui a joué un rôle important dans cette théorie. Faisons, dans la formule préliminaire de Green, V = U, elle deviendra
//[(£)'-(^)>*=:XuS*-//,UAU«" *■
Supposons maintenant que U soit la fonction du paragraphe précédent, s'annulant en tous les points de C, la formule se réduira à
• /fl(£H?)>*-
et l'on devra avoir, pour tous les points de l'intérieur de l'aire,
àU à\J
1— = o, -r— = o; or oy
par suite, la fonction U est constante à l'intérieur de l'aire; nulle sur le bord, elle est donc nulle aussi à l'intérieur.
(') On trouvera dans un important Mémoire de M, Painlevé (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. II, p. 19) des remarques intéressantes relatives à cette notion de fonction prenant une valeur donnée sur un arc de courbe.
11 est important de remarquer que, dans le calcul précédent, on fait implicitement une hypothèse dont nous n'avions pas eu besoin dans la première démonstration. Pour que l'intégrale curviligne
an
soil nulle, il faut supposer, en général, que -r— ne devienne pas
infini. Aussi, dans cette seconde démonstration, on doit se borner aux intégrales qui restent continues à l'intérieur du contour et sur le contour, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre.
III. — Extension à l'équation linéaire générale du second ordre de quelques-uns des résultats obtenus pour l'équation de Laplace.
18. Quittons maintenant, pour un instant, l'équation particulière
et cherchons s'il est possible d'étendre à des équations plus générales quelques-uns des résultats précédents ('). Nous prendrons d'abord l'équation
d* u à* u . du du
— - -H -r— ; - -\--id- h ie - -hfu = o,
dx* Oy* dx dy J
où '/, e, f sont des fonctions continues quelconques de x et r.
Supposons qu'il existe deux intégrales de cette équation, continues dans une aire A limitée par un contour G et prenant Les mêmes valeurs sur ce contour. Nous supposons de plus que leurs dérivées partielles du premier ordre restent continues sur le contour. Leur différence, que nous désignons par U, s'annulera sur ( \. Formons l'intégrale double
f Ail ' °i[] y){j àV «il 7 i
(') K. Picard, Compte* rendus, 1888, el Journal de Mathématique* y i8j
îA CHAPITRE I.
étendue à l'aire A; cette intégrale sera évidemment nulle, puisque la quantité entre crochets est nulle. Donc, en intégrant par parties et se rappelant que U = o sur le bord, on a immédiatement
Un premier résultat apparaît aussitôt. Si, dans l'aire A, on a
pour tout point (#, y)
àd de .
l'intégrale précédente ne pourra être nulle que si Ton a en tous
les points de l'aire
Ainsi, en particulier, l'équation
àx* dy* J
satisfera à la condition précédente dans toute région du plan où f est négatif.
19. L'artifice suivant va nous permettre d'aller plus loin. Gardons toujours pour U la même signification que plus haut. Si B et B' sont deux fonctions continues quelconques de x et y, on aura
f r[à(BU*) d(B'U*)-] (6) JJ[-^+-^]dxdy^o,
puisque U = o est nul sur le bord.
Nous pouvons donc écrire, en ajoutant (5) et (6),
//[(ÏH?)'-»C
„,.,<"J „ /„ àB àR'\'\ , ,
en posant
fi dd de '
ax ày
Or la quantité entre crochets sous le signe d'intégration est une
liirrae quadratique en U, -r- et - — rAw. peut s écrire
(£-Bu)'+(j«+ro)'+«.(.+ £ + f-».-B,).
Elle sera toujours positive si
Si donc on peut trouver deux fonctions B et B' de.retj'continues dans l'aire A et vérifiant l'inégalité précédente, on sera assuré que U est nulle en tous les points de l'aire, si elle est nulle en tous les points du contour. De là peut se déduire une conséquence intéressante.
Nous allons faire voir que, quelle que soit la fonction continue H (x, }'), on peut déterminer deux fonctions B et B' satisfaisant à l'inégalité (7), et continues dans une aire, si celle-ci satisfait à une certaine condition.
Pour le montrer, remplaçons — H par sa plus grande valeur absolue 1- ///'-', quand (xKy) reste dans une certaine région du plan. Nous aurons à satisfaire à l'inégalité
ox ay
el cette dernière inégalité entraînera évidemment la précédente.
Or faisons B' o et prenons B, fonction de x seul, satisfaisant à La relation
1 tant une constante supérieure ;t m*. On aura
T, sz mx bangj m, x -h G),
tant une constante.
lu choisissant convenablement cette constante, La fonction B reste continue dans toul intervalle donné compris entre deux parallèles ;i l'axe des y et dont La dislance est moindre que
Puisque m{ diffère aussi peu qu'on veut de m, on peut dire que, pour toute aire comprise dans une bande parallèle à l'axe des 1 et
de largeur moindre que — j on se trouve dans les conditions d'application du théorème. D'autre part, en faisant une transformation de coordonnées rectangulaires, on aura, pour chaque direction nouvelle de l'axe Oy, un nombre m. En désignant par m le plus grand d'entre eux, et posant
nous pouvons énoncer le théorème suivant ;
Pour tout contour situé dans la région considérée du plan, il ne peut y avoir plus d'une intégrale continue prenant des valeurs données sur le contour, pourvu que le contour se trouve compris entre deux droites parallèles dont la distance ne dépasse pas d.
11 est d'ailleurs nécessaire de sous-entendre toujours la condition de continuité sur le contour pour les dérivées partielles du premier ordre.
En particulier, on est assuré de se trouver dans les conditions d'application du théorème si le contour est suffisamment petit.
