IV. — Des fonctions de la variable complexe sur la surface

de Riemann.

14. Nous pouvons aborder maintenant l'étude des fonctions d'une variable complexe sur une surface de Piiemann. A chaque

solution u de l'équation

Aa = o

correspond, en effet, une fonction v déterminée par la formule (page 6)

y du , du .

dy — dx,

Ox "J à y

Vo J

et u -f- iv est une fonction analytique de x -j- iy.

A chaque fonction harmonique m de première espèce va correspondre une fonction v qui sera aussi de première espèce. Pour s'en assurer, il n'y a qu'à examiner les cas où (#, y) est en un point de ramification ou à l'infini. Dans le premier cas, nous avons

dit (voir la note ({) de la page 55c)) que j- ety- sont de l'ordre

de -p> r désignant la distance de (#, y) au point de ramification : v reste donc finie. Si le point (a*, y) est à l'infini sur un des

feuillets, on fera le changement de variable x'-\-iy'= —>

u devient une fonction de (#', y1) régulière à l'origine, et la formule

r ' - ou , . au , ,

montre que v est finie pour x' = y' = o.

Soient donc deux fonctions harmoniques associées u et v de première espèce ; elles seront linéairement indépendantes. Si l'on avait, en effet, une relation, à coefficients constants a, 6, c, de la

forme

au -+- bv = c,

a et b n'étant pas nuls tous deux, on en déduirait

du . dv du j dv

ox ox ay dy

ce qui est impossible à cause des relations

du __ ôv du ôv

ôx ùy dy ôx

lo. Partons d'une première fonction uK de première espèce, et soit V\ la fonction associée. J'envisage une fonction harmonique u2 qui ne soit pas une combinaison linéaire de uK et v{. Soit v2 l'associée de u2] montrons que les quatre fonctions.

Mi, Pi, Ut, P2

sont linéairement indépendantes. Dans l'hypothèse contraire, on aurait une combinaison

(1) <7i U\ -+- b\ VX -4- (UU^-^r- bîVî

qui se réduirait à une constante. Or cette expression est la partie réelle de la fonction analytique

(<<{ — ib i ) ( u i -+- t'p i ) -+- (a% — ib\ ) ( «2 -t- iv% ).

Il s'ensuit que la combinaison

(2) — 61 Mi -h ai Pj — ^ //2 -f r/2 ('2

se réduit aussi à une constante. On en conclut que

( a\ ((■> — b\ bî)U\-+- (b\ «2 — (t\ 62)pi -t- ( <t\ H- b\)ui

«•st constant, et comme aa et b2 ne peuvent être nuls à la fois (puisque autrement u \ et e, ue sciaient pas indépendants), il en altérait que u2 est une combinaison Linéaire de //,. ci e,, ce qui esl contre not re hypothèse.

On continuera de La même manière, en prenant une fonction u% qui ne soil pas une combinaison Linéaire de uu e,, «2, v% ; en adjoignant à U\ son associée e:î. on aura .s/./- fonctions Linéairement indépendantes. La démonstration se poursuit de proche en proche, el nous arriverons finalement à 2 p fonctions harmoniques de mière espt

"l. <l, Mj, Pj, . . ., Up, Pp,

deux à deux associées et linéairement indépendantes. Elles

forment un système de 2 p fonctions harmoniques de première espèce, avec lesquelles on peut former toutes les autres.

16. Portons maintenant notre attention sur les)? fonctions analytiques de x -j- iy ■=. z,

( 3 ) xi\ 4- iv\ , m2 -+- *V2, . . . , up -+- tpp.

On peut les appeler des fonctions analytiques de première espèce de la variable complexe z sur la surface de Biemann. Ces p fonctions sont linéairement indépendantes, car autrement les 11 et v ne le seraient pas ; elles sont continues sur toute la surface et admettent certaines périodicités au sens déjà tant de fois indiqué. D'autre part, il n'existe pas sur la surface de Riemann de fonction de z, uniforme et continue dans le voisinage de chaque point et admettant des périodicités, qui ne se réduise à une combinaison linéaire de ces fonctions.

On peut répéter, sans y rien changer, à propos des fonctions (3), tout ce que nous avons dit des périodes des intégrales de première espèce (Chap. XIV). L'inégalité fondamentale provenant de la formule de Green peut, en effet, être appliquée ici. On pourra notamment, avec les fonctions (3), former un système de fonctions normales.

17. Passons aux fonctions analytiques de seconde espèce. Nous partirons pour cela d'une fonction harmonique de seconde espèce (§ 13) devenant infinie en un point O, pris un moment pour origine des coordonnées, comme

cos6 r

qui est la partie réelle de -5 en posant z = re' . La fonction associée v deviendra infinie comme

— sin 6

et, par suite, u -j- iv se mettra dans le voisinage de z — o, sous la forme

P étant holomorphe. Donc z = o est un pôle simple de a -h zc, le résidu étant un.

Nous formons donc ainsi une fonction u-\-iv de z ayant pour pôle le point O avec un pour résidu ; celte fonction est continue pour tout autre point et elle admet des périodicités relativement aux rétrosections de la surface de Riemann.

Parmi les fonctions analytiques de seconde espèce, il en est de particulièrement remarquables : ce sont celles qui n'ont pas de périodes. On peut obtenir une telle fonction en partant d'un nombre suffisant k de fonctions de seconde espèce

avec les pôles simples respectifs 0|, O2, . • • , O*. Formons la combinaison linéaire