A 1 TI , -+- A2 H 2 H- . . . -+- A/, H

Si k est supérieur à 2/>, on pourra certainement annuler toutes les périodes, sans que les A soient tous nuls. La fonction ainsi obtenue ne se réduira d'ailleurs certainement pas à une constante, puisque, tous les A n'étant pas nuls, la fonction admet au moins un pôle. Nous aurons ainsi une fonction analytique U uniforme sur toute la surface de Riemann et n'ayant que des noies.

18 Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème fondamental de ce Chapitre :

A une surface de Hiemann arbitrairement donnée correspond une classe de courbes algébriques.

A cet effet, cherchons d'abord quelle sera La nature de la fonction \ du paragraphe précédent. Si l'on considère le plan simple sur Lequel sonl placés les feuillets, nous voyons qu'à chaque valeur <!«• l'affîxe 3 sur ce plan correspondent /// valeurs <!<• l;i fonction I . à savoir \*-s valeurs «le In fonction l aui m points «le la surface de Riemann qui correspondent à la même valeur «le 3. Il est essentiel de remarquer que nous pouvons choisir l <l<- telle manière que ces m valeurs soient distinctes pour leur arbitraire de z. En effet, Les k pôles <!«' I ^<>ni arbi-

Iraires (Â étant suffisamment grand). L'équation U = oo a donc k racines qui sont k points arbitrairement choisis de la surface de Riemann et qu'on peut, par suite, supposer ne pas correspondre à la même valeur de z. L'équation U = A, qui a aussi k racines variant avec A d'une manière continue (Chap. XV, § 1), n'aura donc pas, en général, de racines correspondant à des points de la surface de Riemann ayant même z : ceci ne pourrait arriver que pour des valeurs particulières de A. Il en résulte que, z étant arbitraire, les m valeurs de U aux m points de la surface de Riemann, correspondant à cette valeur de 3, sont distinctes.

Ceci posé, cherchons quelle sera la nature de U considérée comme fonction de z sur le plan simple P. Cette fonction a m valeurs en chaque point ; d'autre part, elle n'a que des pôles et des points critiques algébriques (correspondant aux points de ramification) : elle est donc une fonction algébrique de s, et Ton a

f étant un polynôme de degré m en U. A une valeur arbitraire de z correspondent, avons-nous dit, m valeurs distinctes de U. La relation précédente est irréductible, puisque les m valeurs peuvent s'échanger en passant d'un feuillet à l'autre de la surface de Riemann.

Nous pouvons donc regarder la courbe algébrique (4) comme correspondant à la surface à m feuillets donnée; à un point arbitraire de cette dernière correspond un seul point (U, z) de la courbe, et inversement, à un point arbitraire de la courbe correspond un seul point de la surface de Riemann. Nous avons donc atteint, dans cette question des existences, le but essentiel de notre recherche, qui était de montrer qu'à une surface donnée de Riemann on peut faire correspondre une relation algébrique. A la fonction U on peut évidemment substituer une fonction rationnelle quelconque de U et z, soit

Sauf pour des formes particulières de R, la fonction V aura m valeurs différentes pour une valeur arbitraire de z. La fonction V a les mêmes points de ramification que la fonction U ; elle est ramifiée comme U, suivant l'expression de Riemann. Inverse-

ment, d'ailleurs, V pourra se mettre sous la forme d'une fonction rationnelle de U et de z. On peut donc dire qu'il y a une classe de fonctions algébriques, ramifiées de la même manière, correspondant à une surface arbitrairement donnée de Riemann.

J'ajoute encore que deux surfaces de Riemann, S et S,, seront dites se correspondre point par point quand les deux relations algébriques

(Si) /i(Ui, z±) = o,

(pion peut associer à chacune d'elles, auront entre elles une correspondance birationnelle. Nous dirons aussi que les surfaces qui se correspondent ainsi point par point forment une classe de surfaces.

19. Xa relation (4) est de degré m en U; quant à son degré en 5, il est égal à k, puisque à une valeur arbitraire de U correspondent k valeurs de z. Nous avons donc une relation

de degré m en U et de degré k en z. Riemann, comme nous l'avons déjà dit (p. 4^7), suppose, dans sa théorie des fonctions algébriques, que les degrés du polynôme./* ne sont pas les mêmes es U et z. Cette forme plus générale amène bien peu de modifications avec les hypothèses que nous avons faîtes dans Les Chapitres précédents. Il n'est pas inutile, cependant, d'en dire un m«»t. En désignant toujours par w le nombre des points de ramification de la fonction l de s, où l'on suppose encore que deux racines seulement se permutent, on aura nécessairement, comme

précédemment,

relation purement géométrique. On admet, comme cela a lieu dans I exemple qui nous occupe ici, que les points a l'infini mit chaque feuillet ne sont pas des points «le ramification. L'élimination de I entre les équat ions

conduit à une équation A = o, de degré

en z, puisque le discriminant d'une équation de degré m est du degré 2 (m — 1 ) par rapport aux coefficients de cette équation, et que ces coefficients sont ici de degré k en z.

L'équation A = o admettra, comme racines simples, les w points de ramification; mais elle admettra aussi d'autres racines correspondant aux points multiples de la courbe qui ne sont pas, par hypothèse, des points de ramification. Ces dernières racines seront d'un degré pair de multiplicité; ainsi, par exemple, un point multiple d'ordre i(à tangentes distinctes) donne, pour A = o, une racine d'ordre i (i — 1 ). En désignant donc par ir le nombre des racines de A ne provenant pas des points de ramification, on aura

20. Je termine par une remarque générale relative aux surfaces de Riemann. Quand nous avons étudié ces surfaces au Chapitre XIII, nous avons pu supposer, conformément au théorème de Lùroth, que les m feuillets de la surface étaient liés à la manière d'une chaîne, le premier feuillet étant seulement lié au deuxième, le deuxième au troisième, et ainsi de suite. Nous sommes, dans ces conditions, arrivé à la formule générale {voir. en particulier, le n° 19 du Chapitre XIII)

Dans les théorèmes d'existence que nous venons d'établir, nous n'avons besoin de faire aucune hypothèse particulière sur la surface. Les points de ramification étant seulement toujours supposés simples, les feuillets peuvent être réunis les uns aux autres d'une manière quelconque par des lignes de croisement. Quelle est alors, dans ce cas, la signification du nombre p? Nous pouvons y arriver de suite en recourant à la relation algébrique

qui correspond uniformément à la surface. En raisonnant sur la fonction U comme nous l'avons fait pour établir le théorème de

Lùroth, on pourra transformer la surface de Riemann en une autre où les feuillets seront liés à la manière d'une chaîne, ce qui revient à joindre autrement les points de ramification pour former les lignes de croisement. Dans cette transformation, le nombre des points de ramification ne change pas, et nous avons toujours la même formule pour le nombre/?, c'est-à-dire pour le nombre des trous de la surface dilatée dans l'espace.